Ряд Лейбница

Ряд Лейбница — знакочередующийся ряд, названный именем исследовавшего его немецкого математика Лейбница (хотя этот ряд был известен и раньше):

[math]\displaystyle{ 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + \frac{1}{17} - \frac{1}{19} + \frac{1}{21} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1}. }[/math]

Сходимость этого ряда сразу следует из теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов. Лейбниц показал, что сумма ряда равна [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4}. }[/math] Это открытие впервые показало, что число [math]\displaystyle{ \pi }[/math], первоначально определённое в геометрии, на деле является универсальной математической константой; в дальнейшем этот факт постоянно находил новые подтверждения.

Скорость сходимости

Ряд Лейбница сходится крайне медленно. Нижеследующая таблица иллюстрирует скорость сходимости к [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ряда, умноженного на 4.

n (число членов ряда)	[math]\displaystyle{ 4 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{2k+1} }[/math] (частичная сумма, верные знаки выделены чёрным цветом)	Относительная точность
2	2,666666666666667	0,848826363156775
4	2,895238095238095	0,921582908570213
8	3,017071817071817	0,960363786700453
16	3,079153394197426	0,980124966449415
32	3,110350273698686	0,990055241612751
64	3,125968606973288	0,995026711499770
100	3,131592903558553	0,996816980705689
1000	3,140592653839793	0,999681690193394
10 000	3,141492653590043	0,999968169011461
100 000	3,141582653589793	0,999996816901138
1 000 000	3,141591653589793	0,999999681690114
10 000 000	3,141592553589793	0,999999968169011
100 000 000	3,141592643589793	0,999999996816901
1 000 000 000	3,141592652589793	0,999999999681690

История

Ряд Лейбница легко получить через разложение арктангенса в ряд Тейлора:

[math]\displaystyle{ \operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots }[/math]

Положив [math]\displaystyle{ x = 1, }[/math] мы получаем ряд Лейбница.

Ряд Тейлора для арктангенса впервые открыл индийский математик Мадхава из Сангамаграмы, основатель Керальской школы астрономии и математики (XIV век). Мадхава использовал ряд для вычисления числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Однако ряд Лейбница с [math]\displaystyle{ x=1, }[/math] как показано выше, сходится крайне медленно, поэтому Мадхава положил [math]\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{3}}{3} }[/math] и получил гораздо быстрее сходящийся ряд:

[math]\displaystyle{ \pi = \sqrt{12} \left(1 - \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \dots\right). }[/math]

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение [math]\displaystyle{ 3{,}14159265359 }[/math], причём все знаки, кроме последнего, верны.

Труды Мадхавы и его учеников не были известны в Европе XVII века, и разложение арктангенса было независимо переоткрыто Джеймсом Грегори (1671) и Готфридом Лейбницем (1676). Поэтому некоторые источники предлагают называть данный ряд «рядом Мадхавы — Лейбница» или «рядом Грегори — Лейбница». Грегори, впрочем, не связал этот ряд с числом [math]\displaystyle{ \pi. }[/math]

Ускорение сходимости

Ещё одна модификация ряда Лейбница, делающая его практически пригодным для вычисления [math]\displaystyle{ \pi }[/math] — попарное объединение членов ряда. В результате получим следующий ряд:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{4n + 1} - \frac{1}{4n + 3}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(4n + 1)(4n + 3)}. }[/math]

Для дальнейшей оптимизации вычислений можно применить формулу Эйлера — Маклорена и использовать методы численного интегрирования.

См. также

• Гармонический ряд

Литература

• Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 2. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Gregory Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.