Признак Вейерштрасса

Признак Вейерштрасса — признак сходимости рядов из функций.

Рассмотрим ряд: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) }[/math]

Пусть существует последовательность [math]\displaystyle{ a_n }[/math] такая, что для любого [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] выполняется неравенство [math]\displaystyle{ 0\leqslant |u_n(x)|\leqslant a_n }[/math], кроме того, ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math] сходится. Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) }[/math] сходится на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] абсолютно и равномерно.

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.