Признак Ермакова

Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей «чувствительностью». Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов» («Математический Сборник», 1870 г. и «Bullet. des sciences mathém. et astronom.», 2-me série, t. III), «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» («Университетские Известия университета св. Владимира» за 1872).

Формулировка

Пусть для функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] выполняется: [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0\;\forall x }[/math] (функция принимает только положительные значения); функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] монотонно убывает при [math]\displaystyle{ x\geqslant 1 }[/math]. Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] сходится, если при [math]\displaystyle{ x\geqslant x_0 }[/math] выполняется неравенство: [math]\displaystyle{ \varepsilon(x)=\frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}\leqslant\lambda }[/math], где [math]\displaystyle{ \lambda\lt 1 }[/math]. Если же [math]\displaystyle{ \varepsilon(x)\geqslant 1 }[/math] при [math]\displaystyle{ x\geqslant x_0 }[/math], то ряд расходится.

Доказательство

1. Пусть выполняется неравенство:

[math]\displaystyle{ \frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}\leqslant\lambda. }[/math]

Домножим обе части этого неравенства на [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и проинтегрируем, используя подстановку [math]\displaystyle{ t=e^u }[/math]:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)\,dt=\int\limits_{x_0}^x f(e^u)\cdot e^u\,du\leqslant\lambda\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt, }[/math]

отсюда

[math]\displaystyle{ (1-\lambda)\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)\,dt\leqslant\lambda\left(\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt-\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x} f(t)\,dt\right)\leqslant\lambda\left(\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\,dt-\int\limits_x^{e^x} f(t)\,dt\right)\leqslant\lambda\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\,dt, }[/math]

так как [math]\displaystyle{ e^x\gt x }[/math], вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на [math]\displaystyle{ 1-\lambda }[/math], получим:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)\,dt\leqslant\frac{\lambda}{(1-\lambda)}\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\,dt. }[/math]

Прибавив к обеим частям интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^{e^{x_0}}\,f(t)dt }[/math], получим

[math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^{e^x}f(t)\,dt\leqslant\frac{1}{(1-\lambda)}\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\,dt=L. }[/math]

Учитывая, что [math]\displaystyle{ e^x\gt x }[/math], при [math]\displaystyle{ x\geqslant x_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt\leqslant L. }[/math]

Поскольку с возрастанием [math]\displaystyle{ x }[/math] и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math]:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^\infty f(t)\,dt\leqslant L. }[/math]

Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] также сходится.

2. Пусть теперь имеет место неравенство:

[math]\displaystyle{ \frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}\geqslant 1. }[/math]

Домножив обе части этого неравенства на [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и проинтегрировав, используя в левой части подстановку [math]\displaystyle{ t=e^u }[/math], получим:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)\,dt\geqslant\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt. }[/math]

Прибавим к обеим частям интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_x^{e^{x_0}}f(t)\,dt }[/math]:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{x}^{e^x}f(t)\,dt\geqslant\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}}f(t)\,dt=\gamma. }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ x_0\lt e^{x_0} }[/math], то [math]\displaystyle{ \gamma\gt 0 }[/math]. Определим теперь последовательность [math]\displaystyle{ \{x_i\} }[/math] следующим образом:

[math]\displaystyle{ x_i=e^{x_{i-1}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots,\;n,\;\ldots }[/math]

Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\,dt\geqslant\gamma. }[/math]

Суммируем этот интеграл по [math]\displaystyle{ i=0,\;1,\;\ldots,\;n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^{x_n}f(t)\,dt=\sum_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\,dt\geqslant n\gamma, }[/math]

то есть этот интеграл неограничен при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math]. Поэтому:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^\infty f(t)\,dt=\lim_{x\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt=+\infty. }[/math]

Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] также расходится. ■

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: [math]\displaystyle{ \varepsilon=\lim_{x\to\infty}\varepsilon(x), }[/math] то при [math]\displaystyle{ \varepsilon\lt 1 }[/math] ряд сходится, а при [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 1 }[/math] — расходится.

Обобщение

Пусть для функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] выполняется: [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0\;\forall x }[/math] (функция принимает только положительные значения); функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] монотонно убывает при [math]\displaystyle{ x\geqslant 1 }[/math]. Возьмём некоторую функцию [math]\displaystyle{ \varphi(x)\gt x }[/math], которая: [math]\displaystyle{ \varphi(x)\gt 0\;\forall x }[/math] (функция принимает только положительные значения); монотонно возрастает; имеет непрерывную переменную. Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] сходится, если выполняется неравенство: [math]\displaystyle{ \frac{\varphi(x)\cdot f(\varphi(x))}{f(x)}\leqslant\lambda\lt 1 }[/math]. Если же [math]\displaystyle{ \frac{\varphi(x)\cdot f(\varphi(x))}{f(x)}\geqslant 1 }[/math], то ряд расходится.

Литература

• Ермакова признак — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Ermakoff's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.