Признак Ермакова
Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей «чувствительностью». Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов» («Математический Сборник», 1870 г. и «Bullet. des sciences mathém. et astronom.», 2-me série, t. III), «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» («Университетские Известия университета св. Владимира» за 1872).
Формулировка
|
1. Пусть выполняется неравенство:
- [math]\displaystyle{ \frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}\leqslant\lambda. }[/math]
Домножим обе части этого неравенства на [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и проинтегрируем, используя подстановку [math]\displaystyle{ t=e^u }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)\,dt=\int\limits_{x_0}^x f(e^u)\cdot e^u\,du\leqslant\lambda\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt, }[/math]
отсюда
- [math]\displaystyle{ (1-\lambda)\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)\,dt\leqslant\lambda\left(\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt-\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x} f(t)\,dt\right)\leqslant\lambda\left(\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\,dt-\int\limits_x^{e^x} f(t)\,dt\right)\leqslant\lambda\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\,dt, }[/math]
так как [math]\displaystyle{ e^x\gt x }[/math], вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на [math]\displaystyle{ 1-\lambda }[/math], получим:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)\,dt\leqslant\frac{\lambda}{(1-\lambda)}\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\,dt. }[/math]
Прибавив к обеим частям интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^{e^{x_0}}\,f(t)dt }[/math], получим
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^{e^x}f(t)\,dt\leqslant\frac{1}{(1-\lambda)}\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\,dt=L. }[/math]
Учитывая, что [math]\displaystyle{ e^x\gt x }[/math], при [math]\displaystyle{ x\geqslant x_0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt\leqslant L. }[/math]
Поскольку с возрастанием [math]\displaystyle{ x }[/math] и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^\infty f(t)\,dt\leqslant L. }[/math]
Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] также сходится.
2. Пусть теперь имеет место неравенство:
- [math]\displaystyle{ \frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}\geqslant 1. }[/math]
Домножив обе части этого неравенства на [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и проинтегрировав, используя в левой части подстановку [math]\displaystyle{ t=e^u }[/math], получим:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)\,dt\geqslant\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt. }[/math]
Прибавим к обеим частям интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_x^{e^{x_0}}f(t)\,dt }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{x}^{e^x}f(t)\,dt\geqslant\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}}f(t)\,dt=\gamma. }[/math]
Поскольку [math]\displaystyle{ x_0\lt e^{x_0} }[/math], то [math]\displaystyle{ \gamma\gt 0 }[/math]. Определим теперь последовательность [math]\displaystyle{ \{x_i\} }[/math] следующим образом:
- [math]\displaystyle{ x_i=e^{x_{i-1}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots,\;n,\;\ldots }[/math]
Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\,dt\geqslant\gamma. }[/math]
Суммируем этот интеграл по [math]\displaystyle{ i=0,\;1,\;\ldots,\;n }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^{x_n}f(t)\,dt=\sum_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)\,dt\geqslant n\gamma, }[/math]
то есть этот интеграл неограничен при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math]. Поэтому:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^\infty f(t)\,dt=\lim_{x\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f(t)\,dt=+\infty. }[/math]
Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] также расходится. ■
Формулировка в предельной форме
|
Обобщение[2]
|
Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.
- ↑ A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510.
Литература
- Ермакова признак — статья из Математической энциклопедии
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Ermakoff's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.