Признак Дедекинда

Признак Дедекинда — признак сходимости числовых рядов вида [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n b_n }[/math] (в общем случае [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_n }[/math] — комплексные). Установлен Юлиусом Дедекиндом.

Формулировка

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n b_n \ (a_n,b_n\in \mathbb{C}) }[/math] сходится, если: ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1}) }[/math] абсолютно сходится; [math]\displaystyle{ a_n\rarr 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n\rarr\infty }[/math]; частичные суммы ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] ограничены.

Для несобственных интегралов

Произведение [math]\displaystyle{ f(x)g(x) }[/math] ([math]\displaystyle{ f,g }[/math] непрерывны на [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] и [math]\displaystyle{ f,g:[a,b]=I\rarr\R }[/math]) интегрируемо на [math]\displaystyle{ I }[/math], если: [math]\displaystyle{ F(x)=\int_x^b f(s)ds, a\lt x\leqslant b }[/math] ограничен на [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]; [math]\displaystyle{ g^\prime(x) }[/math] абсолютно интегрируема на [math]\displaystyle{ I }[/math]; [math]\displaystyle{ \lim_{x\rarr a+0}g(x)=0 }[/math].

Литература

• Математическая энциклопедия, Т.2, «И. М. Виноградов. Дедекинда признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.»
• Charles Swartz Introduction to gauge integrals