Десятичная дробь

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде
где
— знак дроби: либо , либо , — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (стандарт стран СНГ)[1], — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.
Примеры:
(конечная десятичная дробь)- Представление числа
в виде бесконечной десятичной дроби:
Значением десятичной дроби
равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.
Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид
что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.
Конечные и бесконечные десятичные дроби
Конечные дроби
Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид
В соответствии с определением эта дробь представляет число
Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида
Если обыкновенную дробь
Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью
Бесконечные дроби
Бесконечная десятичная дробь
представляет, согласно определению, действительное число
Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное
Представление действительных чисел десятичными дробями
Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:
- Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
- Единственно ли такое представление?
- Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?
Эти вопросы освещаются ниже.
Алгоритм разложения числа в десятичную дробь
Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу
Рассмотрим вначале случай

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка
На следующем шаге разделим отрезок
и рассмотрим тот из отрезков длины

Обозначим этот отрезок
Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки
На очередном шаге, имея отрезок
Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков
где
Построенная последовательность отрезков
- Отрезки последовательно вложены друг в друга:
- Длина отрезков
- Точка
принадлежит всем отрезкам последовательности
Из этих условий следует, что
при
Это значит, что ряд
сходится к числу
является представлением числа
Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид
Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка
нулевые слагаемые, получим, что число
Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число
Тем самым рассмотрен случай неотрицательного
Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая
Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.
О роли аксиомы Архимеда
Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.
Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое
Однако существование такого целого числа
Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число
Искомое число найдено:
Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности
Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение
В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число
то последовательность
Неоднозначность представления в виде десятичной дроби
С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа
Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.
Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.
Рассмотрим например, десятичную дробь
Согласно определению, эта дробь является представлением числа
Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби
и
где
Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей
Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.
Теорема. Всякое действительное число
Всякое действительное число вида
Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на
Лишние нули и погрешность
Следует отметить, что, с точки зрения приближённых вычислений, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.
Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна половине единицы последнего выписанного разряда, т.е. число получено в соответствии с правилами округления[2]. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна 0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна 0,0005. Другие примеры:
- «25» — абсолютная погрешность равна 0,5 (также такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
- «2,50∙10⁴» — абсолютная погрешность равна 50;
- «25,00» — абсолютная погрешность равна 0,005.
Периодические десятичные дроби
Определение и свойства
Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид
Такую дробь принято кратко записывать в виде
Повторяющаяся группа цифр
Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь
Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.
Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.
Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби
Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную
Предположим, что дана периодическая десятичная дробь
Произношение десятичных дробей
В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т.д.).
Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.
Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи. Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.
Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.
Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять — сорок пять).
Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде. Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.
История
Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[4].
Тимуридский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше[5].
В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585)[6].
См. также
Примечания
- ↑ Знак запятой «
» — десятичная запятая (англ. decimal comma) — как разделитель целой и дробной частей десятичной дроби принят в России, европейских странах (кроме Великобритании и Ирландии) и многих других странах, на которые они имели культурное влияние. В англоязычных странах и странах, на которые они имели влияние, для этого используется знак точки « » — десятичная точка (англ. decimal point), а знак запятой используется для группировки цифр целой части числа по три десятичных разряда (так называемый разделитель групп разрядов, в России для этого используется знак неразрывного пробела « »). Например, дробь в десятичной записи в российском стандарте будет выглядеть так: , а в английском стандарте так: . Подробнее см. Десятичный разделитель. - ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. — 412 с.
- ↑ Энциклопедия для детей. — М.: Аванта+, 2001. — Т. 11. Математика. — ISBN 5-8483-0015-1., страница 179
- ↑ Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.
- ↑ Berggren J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton: Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.
- ↑ Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джон Непер, 1550—1617. — М.: Наука, 1980. — С. 197—204. — 226 с. — (Научно-биографическая литература).