Тригонометрический ряд

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Тригонометрический ряд — числовой ряд вида:

[math]\displaystyle{ \frac{A_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(A_{n} \cos{nx} + B_{n} \sin{nx}) }[/math][1].

Тригонометрический ряд называется рядом Фурье функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], если коэффициенты [math]\displaystyle{ A_{n} }[/math] и [math]\displaystyle{ B_{n} }[/math] определяются следующим образом:

[math]\displaystyle{ A_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int^{ \pi}_{-\pi}\! f(x) \cos{nx} \,dx\qquad (n=0,1,2,3 \dots) }[/math]
[math]\displaystyle{ B_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int^{ \pi}_{-\pi}\! f(x) \sin{nx}\, dx\qquad (n=1,2,3, \dots) }[/math]

где [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — это суммируемая на [math]\displaystyle{ [-\pi, \pi] }[/math] функция. [1].

Не каждый тригонометрический ряд является рядом Фурье.

Типичная задача в теории тригонометрических рядов: найти, при каких значениях переменной [math]\displaystyle{ x }[/math] данный тригонометрический ряд сходится.

Примечания

  1. 1,0 1,1 Fourier Series and Orthogonal Functions By Harry F. Davis. Page 89

Ссылки

  • «Trigonometric Series» by A. Zygmund