Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

[math]\displaystyle{ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{k} a^{n-k}b^k + \dots + \binom{n}{n} b^n, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} \equiv C_n^k = \frac{n!}{k! (n - k)!} }[/math] — биномиальные коэффициенты, [math]\displaystyle{ n }[/math] — неотрицательное целое число.

Формула бинома Ньютона является частным случаем полиномиальной формулы.

В таком виде эта формула бинома Ньютона была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры:

[math]\displaystyle{ \begin{align} (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2, \\ (x + y)^3 &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\ (x + y)^4 &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\ (x + y)^5 &= x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5. \end{align} }[/math]

Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля.

Доказательство

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени [math]\displaystyle{ a^kb^{n-k} }[/math] нужно из [math]\displaystyle{ k }[/math] скобок выбрать [math]\displaystyle{ a }[/math], а из оставшихся [math]\displaystyle{ n-k }[/math] выбрать [math]\displaystyle{ b }[/math]. Вариантов выбрать [math]\displaystyle{ a }[/math] в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть [math]\displaystyle{ n }[/math]. Затем, соответственно, [math]\displaystyle{ n-1 }[/math], и так далее до [math]\displaystyle{ n-k+1 }[/math] на [math]\displaystyle{ k }[/math]-м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых [math]\displaystyle{ k! }[/math]. Нормируя, получаем в точности [math]\displaystyle{ C^k_n }[/math]. Ниже приводится доказательство по индукции.

Доказательство

Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по [math]\displaystyle{ n }[/math]:

База индукции: [math]\displaystyle{ n=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0 }[/math]

Шаг индукции: Пусть утверждение для [math]\displaystyle{ n }[/math] верно:

[math]\displaystyle{ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k } a ^ {n-k} b ^ {k} }[/math]

Тогда надо доказать утверждение для [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k} }[/math]

Начнём доказательство:

[math]\displaystyle{ (a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}}\quad + \quad \sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1} }[/math]

Извлечём из первой суммы слагаемое при [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}} = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k }[/math]

Извлечём из второй суммы слагаемое при [math]\displaystyle{ k=n }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n - k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k} }[/math]

Теперь сложим преобразованные суммы:

[math]\displaystyle{ a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_{k = 1}^n \left( {n \choose k} + {n \choose {k - 1} } \right) a ^ {n - k + 1} b ^ k = }[/math]

[math]\displaystyle{ =\sum_{k=0}^0 {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k \quad + \quad \sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \choose k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad \sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k= \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k} }[/math]

Что и требовалось доказать. ■

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции [math]\displaystyle{ (1 + x)^r }[/math] в ряд Тейлора:

[math]\displaystyle{ (1 + x)^r = \sum_{k=0}^\infty \binom{r}{k} x^k, }[/math]

где [math]\displaystyle{ r }[/math] может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле

[math]\displaystyle{ \binom{r}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{n=0}^{k-1} (r - n) = \frac{r(r - 1)(r - 2) \cdots (r - (k - 1))}{k!}. }[/math]

При этом ряд

[math]\displaystyle{ (1 + z)^\alpha = 1 + \alpha z + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} z^2 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} z^n + \ldots }[/math]

сходится при [math]\displaystyle{ |z| \leqslant 1 }[/math].

В частности, при [math]\displaystyle{ z = \frac{1}{m} }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha = x \cdot m }[/math] получается тождество

[math]\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{xm} = 1 + x + \frac{xm(xm - 1)}{2m^2} + \ldots + \frac{xm(xm - 1) \cdots (xm - n + 1)}{n!\,m^n} + \ldots. }[/math]

Переходя к пределу при [math]\displaystyle{ m \to \infty }[/math] и используя второй замечательный предел [math]\displaystyle{ \lim_{m\to\infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e }[/math], выводим тождество

[math]\displaystyle{ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots, }[/math]

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Основная статья: Мультиномиальный коэффициент

Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

[math]\displaystyle{ (x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n =\sum\limits_{k_j \geqslant 0 \atop k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n} \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} \ldots x_m^{k_m}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\,k_2! \ldots k_m!} }[/math]

суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам [math]\displaystyle{ k_j }[/math], сумма которых равна [math]\displaystyle{ n }[/math] (то есть по всем композициям числа [math]\displaystyle{ n }[/math] длины [math]\displaystyle{ m }[/math]). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения [math]\displaystyle{ x_j^0 = 1 }[/math], даже если [math]\displaystyle{ x_j = 0 }[/math].

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по [math]\displaystyle{ n }[/math], либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], выражая [math]\displaystyle{ k_2 = n - k_1 }[/math], получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть [math]\displaystyle{ B_n(a_s) = B_n(a_1, \dots, a_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ B_0 = 1 }[/math], тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

[math]\displaystyle{ B_n(a_s + b_s) = \sum_{i+j=n} \binom{n}{i, j} B_i(a_s) B_j(b_s). }[/math]

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

См. также

• Биномиальное распределение
• Биномиальный коэффициент
• Треугольник Паскаля
• Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона

Литература

• Бином Ньютона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• Ньютона бином // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.