Ряд Дирихле

Для термина «Дирихле» см. также другие значения.

Рядом Дирихле называется ряд вида

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}, }[/math]

где s и a_n — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число [math]\displaystyle{ \sigma_c }[/math], что при [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt \sigma_c }[/math] он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число [math]\displaystyle{ \sigma_a }[/math], что при [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt \sigma_a }[/math] ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение [math]\displaystyle{ 0 \leqslant \sigma_a - \sigma_c \leqslant 1 }[/math] (если [math]\displaystyle{ \sigma_c }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma_a }[/math] конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространёнными примерами ряда Дирихле являются дзета-функция Римана и L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке [math]\displaystyle{ s_0 = \sigma_0 + t_0 i }[/math], то этот же ряд сходится в любой точке [math]\displaystyle{ s = \sigma + t i }[/math], для которой [math]\displaystyle{ \sigma \gt \sigma_0 }[/math]. Из этого следует, что существует некоторая точка [math]\displaystyle{ \sigma = \sigma_c }[/math] такая, что при [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt \sigma_c }[/math] ряд сходится, а при [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \lt \sigma_c }[/math] — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда [math]\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s} }[/math] называется точка [math]\displaystyle{ \sigma_a }[/math] такая, что при [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt \sigma_a }[/math] ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что [math]\displaystyle{ 0 \leqslant \sigma_a - \sigma_c \leqslant 1 }[/math].

Поведение функции при [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s }[/math] может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка [math]\displaystyle{ s = \sigma_c }[/math] является особой для некоторого ряда Дирихле, если [math]\displaystyle{ \sigma_c }[/math] — его абсцисса сходимости.

Примеры

[math]\displaystyle{ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math] — дзета-функция Римана.

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}, }[/math]

где μ(n) — функция Мёбиуса.

[math]\displaystyle{ \frac{1}{L(\chi, s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ L(\chi, s) }[/math] — L-функция Дирихле.

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_s(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^s}, }[/math]

где Li_s(z) — полилогарифм.

Гармонический ряд

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots }[/math]

расходится.