Нулевая матрица

Нулева́я ма́трица — это матрица, размера [math]\displaystyle{ m\times n, }[/math] все элементы которой равны нулю. Она обозначается как [math]\displaystyle{ Z }[/math] или [math]\displaystyle{ O }[/math] или [math]\displaystyle{ O_{m,n} }[/math]

[math]\displaystyle{ Z=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} }[/math]

Признаки

Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.

Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.

Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(m, n).

Свойства

• Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой:

[math]\displaystyle{ a\,Z = Z. }[/math]

• Сумма матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ A + Z = A,\;\;\;Z + A = A. }[/math]

• Разница матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ A - Z = A. }[/math]

• Произведение матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ l\times m, }[/math] на нулевую матрицу размера [math]\displaystyle{ m\times n, }[/math] равно нулевой матрице размера [math]\displaystyle{ l\times n: }[/math]

[math]\displaystyle{ A \cdot Z = Z. }[/math]

• Квадратная нулевая матрица n×n при [math]\displaystyle{ n\geqslant 1 }[/math] является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:

  [math]\displaystyle{ \left|Z\right| = 0. }[/math]

  Таким образом, такая матрица не имеет обратной.

• Квадратная нулевая матрица является симметричной, и, как следствие, её транспонированная матрица равна ей самой:

[math]\displaystyle{ Z^{T}=Z. }[/math]

• Квадратная нулевая матрица является также кососимметричной:

[math]\displaystyle{ Z^{T} = -Z \,( = Z). }[/math]

Только нулевая матрица является одновременно и симметричной, и кососимметричной.

• Последние два пункта дословно верны и в отношении эрмитовости и косоэрмитовости над полем комплексных чисел.

• Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.

• Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:

[math]\displaystyle{ ZA = AZ = Z }[/math].

Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.

Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что [math]\displaystyle{ N M = Z_{m\times n} }[/math] существуют тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ l\geqslant 2 }[/math]. Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n×n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ n\geqslant 2 }[/math]. Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. — 400 с.