Суммирующая функция ряда

Суммирующая функция ряда — функция, которая каждому ряду [math]\displaystyle{ U }[/math] ставит в соответствие некоторое число [math]\displaystyle{ s(U) }[/math]. Примером суммирующей функции может служить [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}u_{k} }[/math]. Эта функция определена на множестве всех сходящихся рядов и её значение равно сумме ряда. Так определённую суммирующую функцию называют [math]\displaystyle{ s_{0} }[/math]. Для удобства использования суммирующие функции должны обладать свойствами регулярности (если [math]\displaystyle{ U }[/math] - сходящийся ряд, то суммирующая функция [math]\displaystyle{ s(U) }[/math] должна существовать и быть равной [math]\displaystyle{ s_{0}(U) }[/math]), и линейности (для любых двух рядов [math]\displaystyle{ U }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math] и чисел [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] из существования значений [math]\displaystyle{ s(U) }[/math] и [math]\displaystyle{ s(V) }[/math] следует существование значения [math]\displaystyle{ s(aU+bV) }[/math] и равенство [math]\displaystyle{ s(aU+bV)=as(U)+bs(V) }[/math]).

Примеры

Суммирующей функцией Пуассона-Абеля называется функция, определённая равенством [math]\displaystyle{ s_{p} = \lim_{x \to 1-0} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}u_{k}x^{k} }[/math]. Суммирующая функция Пуассона-Абеля является регулярной и линейной.

Литература

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.