Геометрическая прогрессия

Сумма ряда. Диаграмма иллюстрирует три ряда по формуле геометрической прогрессии [math]\displaystyle{ 1(q^{n-1}) }[/math] с 6 членами, знаменатели прогрессии которых равны соответственно [math]\displaystyle{ 1/2, 1/3, 1/4 }[/math]. Каждый член отмечен своим цветом. Первый член равен 1, поскольку [math]\displaystyle{ 1(q^{n-1})=1(q^{1-1})=1(q^{0})=1 }[/math]. Вертикальная пунктирная линия показывает бесконечную сумму членов ряда, число к которому ряд бесконечно приближается но не может достигнуть, соответственно: 2, 3/2, и 4/3.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел [math]\displaystyle{ b_1 }[/math], [math]\displaystyle{ b_2 }[/math], [math]\displaystyle{ b_3 }[/math], [math]\displaystyle{ \ldots }[/math] (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на определённое число [math]\displaystyle{ q }[/math] (знаменатель прогрессии). При этом [math]\displaystyle{ b_1 \neq 0, q \neq 0; b_n = b_{n-1} q, n \in \mathbb N, n \geqslant 2 }[/math].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

[math]\displaystyle{ b_n = b_1 q^{n-1}. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ b_1 \gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ q \gt 1 }[/math], прогрессия является возрастающей последовательностью, если [math]\displaystyle{ 0 \lt q \lt 1 }[/math], — убывающей последовательностью, а при [math]\displaystyle{ q \lt 0 }[/math] — знакочередующейся, при [math]\displaystyle{ q=1 }[/math] — стационарной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

[math]\displaystyle{ |b_{n}| = \sqrt{ b_{n-1} b_{n+1} }, }[/math]

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата.
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• [math]\displaystyle{ \pi }[/math], [math]\displaystyle{ \pi }[/math], [math]\displaystyle{ \pi }[/math], [math]\displaystyle{ \pi }[/math] — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
• 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
• 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

• Формула знаменателя геометрической прогрессии:

[math]\displaystyle{ q = \frac{ b_{n+1} }{ b_n } }[/math]

Доказательстворазвернуть

По определению геометрической прогрессии.

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательстворазвернуть

[math]\displaystyle{ \log(b_n) = \log(b_1 q^{n-1}) = \log(b_1) + (n - 1) \cdot \log(q) }[/math] Формула общего члена арифметической прогрессии: [math]\displaystyle{ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d }[/math].
В нашем случае
[math]\displaystyle{ a_1 = \log( b_1 ) }[/math],
[math]\displaystyle{ d = \log( q ) }[/math].

• [math]\displaystyle{ b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i} }[/math], если [math]\displaystyle{ 1 \lt i \lt n }[/math].

Доказательстворазвернуть

[math]\displaystyle{ b_n^2 = b_n b_n = b_1 q^{n - 1} b_1 q^{n - 1} = b_1 q^{n - 1 - i} b_1 q^{n - 1 + i} = b_{n - i} b_{n + i} . }[/math]

• Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

  [math]\displaystyle{ P_{n} = ( b_1 \cdot b_n )^\frac{n}{2} . }[/math]

Доказательстворазвернуть

[math]\displaystyle{ P_n = \prod_{i=1}^n b_i = \prod_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1^n \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1} . }[/math] Раскроем произведение [math]\displaystyle{ \prod_{i=1}^n q^{i-1} }[/math]: [math]\displaystyle{ \prod_{i=1}^n q^{i-1} = q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot \ldots \cdot q^{i-1} = q^{ 0 + 1 + 2 + \ldots + (i-1) } . }[/math] Выражение [math]\displaystyle{ 0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1) }[/math] представляет собой арифметическую прогрессию с [math]\displaystyle{ a_1 = 0 }[/math] и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна [math]\displaystyle{ S_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} = n \cdot \frac{0 + (n-1)}{2}. }[/math] Откуда [math]\displaystyle{ P_n = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } q^{ \frac{ n(0 + (n - 1)) }{2} } = \left( b_1 b_1 q^{n-1} \right)^{ \frac{n}{2} } = \left( b_1 b_n \right)^{ \frac{n}{2} } . }[/math]

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

  [math]\displaystyle{ P_{k,n} = \frac{ P_{n} }{ P_{k-1} } . }[/math]

Доказательстворазвернуть

[math]\displaystyle{ P_{k,n} = \prod_{i=k}^n b_i = \frac{ \prod_{i=1}^n b_i }{ \prod_{j=1}^{k-1} b_j } = \frac{P_n}{ P_{k-1} } . }[/math]

• Сумма [math]\displaystyle{ n }[/math] первых членов геометрической прогрессии

  [math]\displaystyle{ S_n = \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^n b_i = \frac{ b_1 - b_1 q^{n} }{1-q}=\frac{ b_1 \left( 1 - q^{n} \right) }{ 1-q }, & \mbox{if } q \ne 1 \\ \\ n b_1, & \mbox{if } q = 1 \end{cases} }[/math]

Доказательстворазвернуть

• Доказательство через сумму:

  [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + \sum_{i=2}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=2}^n b_1 q^{i-2} = b_1 + q \sum_{i=1}^{n-1} b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} - b_1 q^n . }[/math]

  То есть [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} - b_1 q^n }[/math] или

  [math]\displaystyle{ \left( 1 - q \right) \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 - b_1 q^n . }[/math]

  Откуда [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = \frac{ b_1 - b_1 q^n }{1 - q} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} . }[/math]

• Доказательство индукцией по [math]\displaystyle{ n }[/math].

  Пусть [math]\displaystyle{ S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}. }[/math]

  При [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] имеем: [math]\displaystyle{ S_1 = \sum_{i=1}^1 b_i = b_1 = b_1 \frac{1 - q^1}{1 - q} . }[/math]

  При [math]\displaystyle{ n \rightarrow n + 1 }[/math] имеем: [math]\displaystyle{ S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1} b_i = \sum_{i=1}^n b_i + b_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1-q} + b_1 q^n = b_1 \left(\frac{1 - q^n}{1-q} + q^n\right) = b_1 \left( \frac{1 - q^n + q^n - q^{n+1}}{1-q} \right) = b_1 \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}. }[/math]

• Сумма всех членов убывающей прогрессии:

[math]\displaystyle{ \left| q \right| \lt 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ b_n \to 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n \to +\infty }[/math], и

[math]\displaystyle{ S_n \to \frac{ b_1 }{ 1-q } }[/math] при [math]\displaystyle{ n \to +\infty }[/math].

Доказательстворазвернуть

[math]\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } S_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{ b_1 \left( 1-q^n \right) }{1-q} = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{ b_1 }{ 1-q } - b_1 \frac{ q^n }{1-q} \right) = \frac{ b_1 }{1-q} - b_1 \lim_{ n \to \infty } \frac{ q^n }{1-q}. }[/math] Если [math]\displaystyle{ \left| q \right| \lt 1 , }[/math] то [math]\displaystyle{ q^n \to 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n \to \infty . }[/math] Поэтому [math]\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{ q^n }{1-q} = 0 . }[/math] Следовательно [math]\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } S_n = \frac{ b_1 }{ 1-q } . }[/math]

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция
• Сумма ряда