Степенной ряд

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

[math]\displaystyle{ F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, }[/math]

в котором коэффициенты [math]\displaystyle{ {a_n} }[/math] берутся из некоторого кольца [math]\displaystyle{ {R} }[/math].

Пространство степенных рядов

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из [math]\displaystyle{ {R} }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math]. Пространство [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math] имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом [math]\displaystyle{ {R} }[/math] (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо [math]\displaystyle{ {R} }[/math]). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math] определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

[math]\displaystyle{ F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n. }[/math]

Тогда:

[math]\displaystyle{ H = F + G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = a_n + b_n }[/math]

[math]\displaystyle{ H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l }[/math]

[math]\displaystyle{ H = F \circ G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s} }[/math] (при этом необходимо, чтобы соблюдалось [math]\displaystyle{ b_0=0 }[/math])

[math]\displaystyle{ H = F' \Leftrightarrow \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1} }[/math]

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной [math]\displaystyle{ {X} }[/math] какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд [math]\displaystyle{ \Sigma \,a_n x^n }[/math] сходится в точке [math]\displaystyle{ {x_0} }[/math]. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге [math]\displaystyle{ {|x|\lt |x_0|} }[/math] и равномерно по [math]\displaystyle{ {x} }[/math] на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при [math]\displaystyle{ {x=x_0} }[/math], он расходится при всех [math]\displaystyle{ {x} }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ {|x|\gt |x_0|} }[/math]. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга [math]\displaystyle{ {R} }[/math] (возможно, нулевой или бесконечный), что при [math]\displaystyle{ {|x|\lt R} }[/math] ряд сходится абсолютно (и равномерно по [math]\displaystyle{ x }[/math] на компактных подмножествах круга [math]\displaystyle{ {|x|\lt R} }[/math]), а при [math]\displaystyle{ {|x|\gt R} }[/math] — расходится. Это значение [math]\displaystyle{ R }[/math] называется радиусом сходимости ряда, а круг [math]\displaystyle{ {|x|\lt R} }[/math] — кругом сходимости.

Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:

[math]\displaystyle{ {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n} }[/math]

(По поводу определения верхнего предела [math]\displaystyle{ \varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty} }[/math] см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] — два степенных ряда с радиусами сходимости [math]\displaystyle{ {R_F} }[/math] и [math]\displaystyle{ {R_G} }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_{F'}\, = \,R_F }[/math]

Если у ряда [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] свободный член нулевой, тогда

[math]\displaystyle{ R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G }[/math]

Вопрос о сходимости ряда в точках границы [math]\displaystyle{ {|x|=R} }[/math] круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

Признак Д’Аламбера: Если при [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha\gt 1 }[/math] выполнено неравенство

[math]\displaystyle{ \left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right) }[/math]

тогда степенной ряд [math]\displaystyle{ \Sigma \,a_n x^n }[/math] сходится во всех точках окружности [math]\displaystyle{ {|x|=R} }[/math] абсолютно и равномерно по [math]\displaystyle{ x }[/math].

Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда [math]\displaystyle{ \Sigma \,a_n x^n }[/math] положительны и последовательность [math]\displaystyle{ a_n }[/math] монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности [math]\displaystyle{ {|x|=1} }[/math], кроме, быть может, точки [math]\displaystyle{ {x=1} }[/math].

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра [math]\displaystyle{ x }[/math] является предметом изучения теории аналитических функций.

См.также

Вариации и обобщения

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

[math]\displaystyle{ F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n} }[/math]

или, в мультииндексных обозначениях,

[math]\displaystyle{ F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ X }[/math] — это вектор [math]\displaystyle{ X=(X_1,X_2,\dots,X_n) }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — мультииндекс [math]\displaystyle{ \alpha = (k_1, k_2, \dots, k_n) }[/math], [math]\displaystyle{ X^{\alpha} }[/math] — одночлен [math]\displaystyle{ X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n} }[/math]. Пространство степенных рядов от [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных и коэффициентами из [math]\displaystyle{ R }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ R[[X_1,X_2,\dots,X_n]] }[/math]. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и [math]\displaystyle{ n }[/math]-местной суперпозиции. Пусть

[math]\displaystyle{ F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, G(X) = \sum\limits_{\alpha} b_{\alpha}X^{\alpha}, H(X) = \sum\limits_{\alpha}c_{\alpha}X^{\alpha}. }[/math]

Тогда:

[math]\displaystyle{ H = F + G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = a_{\alpha} + b_{\alpha} }[/math]

[math]\displaystyle{ H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = \sum\limits_{\beta+\gamma=\alpha} a_{\beta} b_{\gamma} }[/math]

[math]\displaystyle{ H = {\partial F \over \partial X_i} \Leftrightarrow \forall (k_1, k_2, \dots, k_n) \, c_{k_1, k_2, \dots, k_n} = (k_i+1)a_{(k_1, k_2, \dots, k_i+1, \dots, k_n)} }[/math]

См.также