Ряд Неймана

Ряд Неймана — это ряд вида:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} T^n, }[/math]

где [math]\displaystyle{ T }[/math] — это некоторый оператор. В этом случае [math]\displaystyle{ T^n }[/math] означает суперпозицию из [math]\displaystyle{ n }[/math] одинаковых операторов [math]\displaystyle{ T }[/math]. Если же [math]\displaystyle{ T }[/math] — элемент кольца, то [math]\displaystyle{ T^n }[/math] будет означать [math]\displaystyle{ n }[/math]-ю степень элемента [math]\displaystyle{ T }[/math].

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

[math]\displaystyle{ (I - T)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}T^n, }[/math]

где [math]\displaystyle{ I }[/math] — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор [math]\displaystyle{ T }[/math], действующий в банаховом пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math], имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида [math]\displaystyle{ I-F }[/math], где [math]\displaystyle{ \lambda_{max}(F) \lt 1 }[/math] — максимальное собственное значение матрицы [math]\displaystyle{ F }[/math].

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида [math]\displaystyle{ 1 - p }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{m-1} p^n, }[/math]

где [math]\displaystyle{ m }[/math] — индекс нильпотента [math]\displaystyle{ p }[/math].

См. также

• Ряд Лиувилля — Неймана