Числовая последовательность
Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта[1][2], принадлежащий Ш. Мерэ[1]) — это последовательность чисел.
Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — это либо множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], либо множество комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. Тогда последовательность [math]\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^{\infty} }[/math] элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называется числовой последовательностью.
Примеры
- Функция [math]\displaystyle{ \left((-1)^n\right)_{n=1}^{\infty} }[/math] является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид [math]\displaystyle{ \langle -1, 1, -1, 1, -1,\ldots\rangle }[/math].
- Функция [math]\displaystyle{ (1/n)_{n=1}^{\infty} }[/math] является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид [math]\displaystyle{ \langle 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,\ldots\rangle }[/math].
Операции над последовательностями
На множестве всех последовательностей элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math]. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.
Пусть на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] определена [math]\displaystyle{ N }[/math]-арная операция [math]\displaystyle{ f }[/math]:
Тогда для элементов [math]\displaystyle{ x_1=(x_{1n})_{n=1}^\infty }[/math], [math]\displaystyle{ x_2=(x_{2n})_{n=1}^\infty }[/math], …, [math]\displaystyle{ x_N=(x_{Nn})_{n=1}^\infty }[/math] множества всех последовательностей элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] операция [math]\displaystyle{ f }[/math] будет определяться следующим образом:
|
Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.
Суммой числовых последовательностей [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ (y_n) }[/math] называется числовая последовательность [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ z_n = x_n + y_n }[/math]
Разностью числовых последовательностей [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ (y_n) }[/math] называется числовая последовательность [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ z_n = x_n - y_n }[/math].
Произведением числовых последовательностей [math]\displaystyle{ x_n }[/math] и [math]\displaystyle{ y_n }[/math] называется числовая последовательность [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ z_n = x_n \cdot y_n }[/math].
Частным числовой последовательности [math]\displaystyle{ x_n }[/math] и числовой последовательности [math]\displaystyle{ y_n }[/math], все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность [math]\displaystyle{ z_n = \left( \frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^\infty }[/math]. Если в последовательности [math]\displaystyle{ y_n }[/math] на позиции [math]\displaystyle{ k \neq 1 }[/math] всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность [math]\displaystyle{ z_n = \left(\frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^{k-1} }[/math].
Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.
Подпоследовательности
Подпоследовательность последовательности [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] — это последовательность [math]\displaystyle{ (x_{n_k}) }[/math], где [math]\displaystyle{ (n_k) }[/math] — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.
Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.
Примеры
- Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
- Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.
Свойства
- Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
- Для всякой подпоследовательности [math]\displaystyle{ (x_{k_n}) }[/math] верно, что [math]\displaystyle{ \forall n \in \N \colon k_n \geqslant n }[/math].
- Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
- Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
- Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
- Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
- Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
Предельная точка последовательности
Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.
Предел последовательности
Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.
Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.
Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.
Некоторые виды последовательностей
- Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
- [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] стационарная [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( \exists N \in \N ~ \forall i,j \in \N \colon \left( i \geqslant N \right) \land \left( j \geqslant N \right) \Rightarrow \left( x_i = x_j \right) \right) }[/math].
Ограниченные и неограниченные последовательности
В предположении о линейной упорядоченности множества [math]\displaystyle{ X }[/math] элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.
- Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math], все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
- [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] ограниченная сверху [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists M \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant M }[/math].
- Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math], для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
- [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] ограниченная снизу [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists m \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant m }[/math].
- Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
- [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] ограниченная [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists m,M \in X ~ \forall n \in \N \colon m \leqslant x_n \leqslant M }[/math].
- Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
- [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] неограниченная [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall m,M \in X ~ \exists n \in \N \colon \left( x_n \lt m \right) \lor \left( x_n \gt M \right) }[/math].
Критерий ограниченности числовой последовательности
Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.
- [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] ограниченная [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists A \in \R ~ \forall n \in \N \colon | x_n | \leqslant A }[/math].
Свойства ограниченных последовательностей
- Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
- Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
- Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
- У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
- Для любого наперёд взятого положительного числа [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] все элементы ограниченной числовой последовательности [math]\displaystyle{ \left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty} }[/math], начиная с некоторого номера, зависящего от [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], лежат внутри интервала [math]\displaystyle{ \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right) }[/math].
- Если за пределами интервала [math]\displaystyle{ \left( a, b \right) }[/math] лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности [math]\displaystyle{ \left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty} }[/math], то интервал [math]\displaystyle{ \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right) }[/math] содержится в интервале [math]\displaystyle{ \left( a, b \right) }[/math].
- Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
- Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.
Свойства бесконечно малых последовательностей
Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.
- Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
- Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
- Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
- Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
- Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
- Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
- Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
- Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
- Если [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность [math]\displaystyle{ (1 / x_n) }[/math], которая является бесконечно малой. Если же [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] всё же содержит нулевые элементы, то последовательность [math]\displaystyle{ (1 / x_n) }[/math] всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера [math]\displaystyle{ n }[/math], и всё равно будет бесконечно малой.
- Если [math]\displaystyle{ (\alpha_n) }[/math] — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность [math]\displaystyle{ (1 / \alpha_n) }[/math], которая является бесконечно большой. Если же [math]\displaystyle{ (\alpha_n) }[/math] всё же содержит нулевые элементы, то последовательность [math]\displaystyle{ (1 / \alpha_n) }[/math] всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера [math]\displaystyle{ n }[/math], и всё равно будет бесконечно большой.
Сходящиеся и расходящиеся последовательности
- Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math], имеющая предел в этом множестве.
- Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.
Свойства сходящихся последовательностей
- Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
- Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
- Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
- Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
- Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
- Если последовательность [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность [math]\displaystyle{ (1 / x_n) }[/math], которая является ограниченной.
- Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
- Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
- Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
- Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
- Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
- Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
- Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
- Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
- Любую сходящуюся последовательность [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] можно представить в виде [math]\displaystyle{ (x_n) = (a + \alpha_n) }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] — предел последовательности [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math], а [math]\displaystyle{ \alpha_n }[/math] — некоторая бесконечно малая последовательность.
- Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).
Монотонные последовательности
Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.
Фундаментальные последовательности
Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — С. 44. — 608 с.
- ↑ Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов / Под ред. к.ф.-м.н. А. П. Савина. — М.: Русский язык, 1989. — С. 16. — 244 с. — ISBN 5-200-01253-8.