Числовая последовательность

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта[1][2], принадлежащий Ш. Мерэ[1]) — это последовательность чисел.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — это либо множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], либо множество комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. Тогда последовательность [math]\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^{\infty} }[/math] элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называется числовой последовательностью.

Примеры

  • Функция [math]\displaystyle{ \left((-1)^n\right)_{n=1}^{\infty} }[/math] является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид [math]\displaystyle{ \langle -1, 1, -1, 1, -1,\ldots\rangle }[/math].
  • Функция [math]\displaystyle{ (1/n)_{n=1}^{\infty} }[/math] является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид [math]\displaystyle{ \langle 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,\ldots\rangle }[/math].

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math]. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] определена [math]\displaystyle{ N }[/math]-арная операция [math]\displaystyle{ f }[/math]:

[math]\displaystyle{ f \colon X^N \rightarrow X }[/math]

Тогда для элементов [math]\displaystyle{ x_1=(x_{1n})_{n=1}^\infty }[/math], [math]\displaystyle{ x_2=(x_{2n})_{n=1}^\infty }[/math], …, [math]\displaystyle{ x_N=(x_{Nn})_{n=1}^\infty }[/math] множества всех последовательностей элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] операция [math]\displaystyle{ f }[/math] будет определяться следующим образом:

[math]\displaystyle{ f \left( x_1, x_2, \cdots, x_N \right) = ( f \left( x_{1n}, x_{2n}, \cdots, x_{Nn} \right) )_{n=1}^\infty }[/math]

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ (y_n) }[/math] называется числовая последовательность [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ z_n = x_n + y_n }[/math]

Разностью числовых последовательностей [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ (y_n) }[/math] называется числовая последовательность [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ z_n = x_n - y_n }[/math].

Произведением числовых последовательностей [math]\displaystyle{ x_n }[/math] и [math]\displaystyle{ y_n }[/math] называется числовая последовательность [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ z_n = x_n \cdot y_n }[/math].

Частным числовой последовательности [math]\displaystyle{ x_n }[/math] и числовой последовательности [math]\displaystyle{ y_n }[/math], все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность [math]\displaystyle{ z_n = \left( \frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^\infty }[/math]. Если в последовательности [math]\displaystyle{ y_n }[/math] на позиции [math]\displaystyle{ k \neq 1 }[/math] всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность [math]\displaystyle{ z_n = \left(\frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^{k-1} }[/math].

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] — это последовательность [math]\displaystyle{ (x_{n_k}) }[/math], где [math]\displaystyle{ (n_k) }[/math] — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

  • Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
  • Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

  • Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
  • Для всякой подпоследовательности [math]\displaystyle{ (x_{k_n}) }[/math] верно, что [math]\displaystyle{ \forall n \in \N \colon k_n \geqslant n }[/math].
  • Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
  • Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
  • Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
  • Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
  • Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

  • Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
    [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] стационарная [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( \exists N \in \N ~ \forall i,j \in \N \colon \left( i \geqslant N \right) \land \left( j \geqslant N \right) \Rightarrow \left( x_i = x_j \right) \right) }[/math].

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества [math]\displaystyle{ X }[/math] элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

  • Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math], все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
    [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] ограниченная сверху [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists M \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant M }[/math].
  • Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math], для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
    [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] ограниченная снизу [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists m \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant m }[/math].
  • Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
    [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] ограниченная [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists m,M \in X ~ \forall n \in \N \colon m \leqslant x_n \leqslant M }[/math].
  • Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
    [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] неограниченная [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall m,M \in X ~ \exists n \in \N \colon \left( x_n \lt m \right) \lor \left( x_n \gt M \right) }[/math].

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

[math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] ограниченная [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists A \in \R ~ \forall n \in \N \colon | x_n | \leqslant A }[/math].

Свойства ограниченных последовательностей

  • Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
  • Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
  • Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
  • У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
  • Для любого наперёд взятого положительного числа [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] все элементы ограниченной числовой последовательности [math]\displaystyle{ \left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty} }[/math], начиная с некоторого номера, зависящего от [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], лежат внутри интервала [math]\displaystyle{ \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right) }[/math].
  • Если за пределами интервала [math]\displaystyle{ \left( a, b \right) }[/math] лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности [math]\displaystyle{ \left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty} }[/math], то интервал [math]\displaystyle{ \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right) }[/math] содержится в интервале [math]\displaystyle{ \left( a, b \right) }[/math].
  • Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

  • Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
  • Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

  • Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
  • Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  • Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
  • Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
  • Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
  • Если [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность [math]\displaystyle{ (1 / x_n) }[/math], которая является бесконечно малой. Если же [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] всё же содержит нулевые элементы, то последовательность [math]\displaystyle{ (1 / x_n) }[/math] всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера [math]\displaystyle{ n }[/math], и всё равно будет бесконечно малой.
  • Если [math]\displaystyle{ (\alpha_n) }[/math] — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность [math]\displaystyle{ (1 / \alpha_n) }[/math], которая является бесконечно большой. Если же [math]\displaystyle{ (\alpha_n) }[/math] всё же содержит нулевые элементы, то последовательность [math]\displaystyle{ (1 / \alpha_n) }[/math] всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера [math]\displaystyle{ n }[/math], и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

  • Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math], имеющая предел в этом множестве.
  • Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

  • Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
  • Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
  • Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
  • Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
  • Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
  • Если последовательность [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность [math]\displaystyle{ (1 / x_n) }[/math], которая является ограниченной.
  • Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
  • Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
  • Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
  • Любую сходящуюся последовательность [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] можно представить в виде [math]\displaystyle{ (x_n) = (a + \alpha_n) }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] — предел последовательности [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math], а [math]\displaystyle{ \alpha_n }[/math] — некоторая бесконечно малая последовательность.
  • Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Примечания

  1. 1,0 1,1 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — С. 44. — 608 с.
  2. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов / Под ред. к.ф.-м.н. А. П. Савина. — М.: Русский язык, 1989. — С. 16. — 244 с. — ISBN 5-200-01253-8.

См. также