Ряд Лорана

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Определение

Ряд Лорана в конечной точке [math]\displaystyle{ z_{0}\in\mathbb C }[/math] — функциональный ряд по целым степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math] над полем комплексных чисел:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n,\quad }[/math] где переменная [math]\displaystyle{ z\in{\mathbb C}\setminus\{z_{0}\} }[/math], а коэффициенты [math]\displaystyle{ c_n\in\mathbb C }[/math] для [math]\displaystyle{ n\in\mathbb Z }[/math].

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

  1. [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n }[/math] — часть по неотрицательным степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math],
  2. [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^n} }[/math] — часть по отрицательным степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math].

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если [math]\displaystyle{ A_{z_{0}} \subseteq ({\mathbb C}\setminus\{z_{0}\}) }[/math] — область сходимости ряда Лорана такая, что [math]\displaystyle{ z_{0}\in\partial{A_{z_{0}}} }[/math], то для [math]\displaystyle{ A_{z_{0}} }[/math]

ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n }[/math] называется правильной частью,
ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^n} }[/math] называется главной частью.

Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке [math]\displaystyle{ z_{0}=\infty \in\overline{\mathbb C} }[/math] — функциональный ряд по целым степеням [math]\displaystyle{ z }[/math] над полем комплексных чисел:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n z^n,\quad }[/math] где переменная [math]\displaystyle{ z\in\mathbb C\setminus\{0\} }[/math], а коэффициенты [math]\displaystyle{ c_n\in\mathbb C }[/math] для [math]\displaystyle{ n\in\mathbb Z }[/math].

По внешнему виду ряд для [math]\displaystyle{ z_{0}=\infty }[/math] совпадает с рядом для [math]\displaystyle{ z_{0}=0 }[/math], однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены [math]\displaystyle{ z \leftrightarrow \frac{1}{\zeta} }[/math] для [math]\displaystyle{ \zeta_{0}=0 }[/math].

Если [math]\displaystyle{ A_{\infty} \subseteq ({\mathbb C}\setminus\{0\}) }[/math] — область сходимости ряда Лорана такая, что [math]\displaystyle{ \infty\in\partial{A_{\infty}} }[/math], то для [math]\displaystyle{ A_{\infty} }[/math]

ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{0}c_n z^n }[/math] называется правильной частью,
ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=+1}^{+\infty}{c_{n}}{z^n} }[/math] называется главной частью.

Свойства

  • Часть по положительным степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math] сходится во внутренности [math]\displaystyle{ D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|\lt R\} }[/math] круга радиуса [math]\displaystyle{ R = \dfrac{1}{ {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |c_n|^{1/n} } \in [0; +\infty] }[/math],
часть по отрицательным степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math] сходится во внешности [math]\displaystyle{ \Delta_{r}=\overline{\mathbb C}\setminus\overline{D}_{r}=\{z\in\overline{\mathbb C}: |z-z_{0}|\gt r\} }[/math] круга [math]\displaystyle{ D_{r} }[/math] радиуса [math]\displaystyle{ r = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |c_{-n}|^{1/n} \in [0; +\infty] }[/math].
Поэтому, если [math]\displaystyle{ r\lt R\, }[/math], то внутренность [math]\displaystyle{ A }[/math] области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо
[math]\displaystyle{ A= \{z\in\mathbb C\mid 0\leq r\lt |z-z_{0}|\lt R\leq +\infty\}=\Delta_{r} \cap D_{R} }[/math].
  • Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности [math]\displaystyle{ C_{R}(z_{0})=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|= R\} }[/math] зависит только от [math]\displaystyle{ \sum_{n=n_{s}}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n }[/math] для произвольного [math]\displaystyle{ n_{s}\in\mathbb N }[/math],
а в точках граничной окружности [math]\displaystyle{ C_{r}(z_{0})=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|= r\} }[/math] — только от [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^n} }[/math] для произвольного [math]\displaystyle{ n_{s}\in\mathbb N }[/math].
Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца [math]\displaystyle{ A }[/math] может быть разнообразным.
  • Во всех точках кольца [math]\displaystyle{ A }[/math] ряд Лорана сходится абсолютно.
  • На любом компактном подмножестве [math]\displaystyle{ K\subset A }[/math] ряд сходится равномерно.
  • Для каждой точки [math]\displaystyle{ \zeta_{0} \in A }[/math] существует такое значение [math]\displaystyle{ \rho(\zeta_{0})=\min\{\textrm{dist}(C_{r}(z_{0}), \zeta_{0}), \textrm{dist}(C_{R}(z_{0}), \zeta_{0})\} \gt 0 }[/math], что [math]\displaystyle{ D_{\rho}(\zeta_{0})=\{z\in\mathbb C: |z-\zeta_{0}|\lt \rho(\zeta_{0})\}\subset A }[/math], и ряд Лорана [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] может быть записан в виде сходящегося в [math]\displaystyle{ D_{\rho}(\zeta_{0}) }[/math] ряда по степеням [math]\displaystyle{ (z-\zeta_{0}) }[/math]:
[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n=\sum_{k=0}^{+\infty}t_k(\zeta_{0})(z-\zeta_{0})^k,\quad }[/math] где [math]\displaystyle{ z \in D_{\rho}(\zeta_{0}) }[/math], а [math]\displaystyle{ t_k(\zeta_{0})=\frac{f^{(k)}(\zeta_{0})}{k!} }[/math] для [math]\displaystyle{ k\in\{0\}\cup\mathbb N }[/math],
т.е. [math]\displaystyle{ \zeta_{0} }[/math] является для [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в [math]\displaystyle{ A }[/math] есть аналитическая функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math].
  • Для [math]\displaystyle{ 0\lt r\lt R\lt +\infty }[/math] на граничных окружностях кольца сходимости [math]\displaystyle{ A }[/math] существуют непустые множества [math]\displaystyle{ I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0}) }[/math], [math]\displaystyle{ I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0}) }[/math] точек, не являющихся для [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] правильными.
  • Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном [math]\displaystyle{ K\subset A }[/math] почленно.
  • Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в [math]\displaystyle{ A }[/math] функцию только при [math]\displaystyle{ c_{-1} = 0 }[/math], поскольку для любого [math]\displaystyle{ \rho \gt 0 }[/math] значение [math]\displaystyle{ \int\limits_{\;\,|z-z_{0}|=\rho}c_{n} (z-z_{0})^{n}\cdot dz= \left\{ \begin{array}{ll} c_{-1}\cdot 2\pi i\, , & n=-1\, ; \\ 0\, , & n\neq -1\, . \end{array} \right. }[/math]
Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty, n \neq -1}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n\, }[/math], представляющий в двусвязной области [math]\displaystyle{ A }[/math] функцию [math]\displaystyle{ f(z)-\frac{c_{-1}}{z-z_{0}}\, }[/math], для любого компактного [math]\displaystyle{ K\subset A }[/math] и любой спрямляемой ориентированной кривой [math]\displaystyle{ \gamma \subset K }[/math] можно интегрировать по [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] и не зависит от формы кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math].
  • Коэффициенты [math]\displaystyle{ (c_n)_{n\in \mathbb Z} }[/math] ряда Лорана [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] удовлетворяют соотношениям
[math]\displaystyle{ c_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}=\frac1{2\pi i}\int\limits_{|z-z_{0}|=\rho}\frac{f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном [math]\displaystyle{ K\subset A }[/math] и один раз обходящая против часовой стрелки точку [math]\displaystyle{ z_{0} }[/math]. В частности, в качестве [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] можно взять любую окружность [math]\displaystyle{ C_{\rho}=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0; 2\pi]\} }[/math] радиуса [math]\displaystyle{ \rho \in (r; R) }[/math] с центром в [math]\displaystyle{ z_{0} }[/math], расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр [math]\displaystyle{ t }[/math] должен возрастать).
  • Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math], сходящихся в [math]\displaystyle{ A_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ A_{2} }[/math] соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности [math]\displaystyle{ C_{\rho}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|=\rho\} \subset (A_{1} \cap A_{2}) }[/math] или на гомотопной ей по [math]\displaystyle{ A_{1} \cap A_{2} }[/math] спрямляемой кривой [math]\displaystyle{ \gamma \sim C_{\rho} }[/math], то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], являющаяся однозначной и аналитической в кольце [math]\displaystyle{ A= \{z\in\mathbb C\mid 0\leq r\lt |z-z_{0}|\lt R\leq +\infty\} }[/math], представима в [math]\displaystyle{ A }[/math] сходящимся рядом Лорана по степеням [math]\displaystyle{ (z-z_{0}) }[/math].

Представление однозначной аналитической функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности [math]\displaystyle{ A_{z_{0}} }[/math] изолированной особой точки:

1) если точка [math]\displaystyle{ z_{0}\neq \infty }[/math], то существует радиус [math]\displaystyle{ R_{z_{0}}\in (0; +\infty] }[/math] такой, что в проколотой окрестности

[math]\displaystyle{ A_{z_{0}}= \{z\in\mathbb C\mid 0\lt |z-z_{0}|\lt R_{z_{0}}\}\quad }[/math]

функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка [math]\displaystyle{ z_{0}= \infty }[/math], то существует радиус [math]\displaystyle{ r_{\infty}\in [0; +\infty) }[/math] такой, что в проколотой окрестности

[math]\displaystyle{ A_{\infty}= \{z\in\mathbb C\mid r_{\infty}\lt |z|\lt \infty\} }[/math]

функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки [math]\displaystyle{ z_{0} }[/math] определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности [math]\displaystyle{ A_{z_{0}} }[/math]:

Литература