Числа Фибоначчи

Черепица с квадратами, длина сторон которых является последовательными числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и 21

Спираль Фибоначчи: приближение золотой спирали, созданной путём рисования круговых дуг, соединяющих противоположные углы квадратов в мозаике Фибоначчи; (см. предыдущее изображение)

Чи́сла Фибона́ччи (вариант написания — Фибона́чи) — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (последовательность A000045 в OEIS),

в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

Правда, в некоторых книгах, особенно в старых^{[каких?]}, член [math]\displaystyle{ F_0 }[/math], равный нулю, опускается — тогда последовательность Фибоначчи начинается с [math]\displaystyle{ F_1 = F_2 = 1 }[/math].

Говоря более формально, последовательность чисел Фибоначчи [math]\displaystyle{ \{F_n\} }[/math] задаётся линейным рекуррентным соотношением:

[math]\displaystyle{ F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \ n \geqslant 2,\ n \in \Z }[/math].

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений [math]\displaystyle{ n }[/math] как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Соответственно, члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: [math]\displaystyle{ F_n = F_{n+2} - F_{n+1} }[/math]:

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
[math]\displaystyle{ F_n }[/math]	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…

Легко заметить, что [math]\displaystyle{ F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n }[/math].

Происхождение

Количество пар кроликов образуют последовательность Фибоначчи

Страница Книги абака (лат. Liber abaci) Фибоначчи из Национальной центральной библиотеки Флоренции.
В правом блоке демонстрируется последовательность Фибоначчи. Позиции от 0 до 12 обозначены тёмным цветом римскими цифрами, а значения красным цветом индо-арабскими цифрами

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n − 1, либо L к образцу длиной n − 2 — и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Книга абака» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, где условия таковы: изначально дана новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и производить новую пару кроликов, причём уже каждый месяц; кролики никогда не умирают, — а в качестве искомого выдвигает количество пар кроликов через год.

• В начале первого месяца есть только одна новорождённая пара (1).
• В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1).
• В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2).
• В конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3).
• В конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5).

В конце [math]\displaystyle{ n }[/math]-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количеству новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад, то есть [math]\displaystyle{ F_n = F_{n-2} + F_{n-1} }[/math]. Возможно, эта задача также оказалась первой, моделирующей экспоненциальный рост популяции.

Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком XIX века Эдуардом Люка.

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение [math]\displaystyle{ F_n }[/math] как функцию от n:

[math]\displaystyle{ F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} }[/math] — золотое сечение и [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ (-\varphi )^{-1}=1-\varphi }[/math] являются корнями характеристического уравнения [math]\displaystyle{ x^2-x-1=0. }[/math] Вообще, аналогичная формула существует для любой линейной рекуррентной последовательности, какой служит и последовательность Фибоначчи.

Обоснование

Преобразуем характеристическое уравнение [math]\displaystyle{ x^2-x-1=0 }[/math] к виду [math]\displaystyle{ x^2=x+1, }[/math] умножим обе части на [math]\displaystyle{ x }[/math]: [math]\displaystyle{ x^3=x^2+x }[/math] — и заменим в этой сумме [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] на [math]\displaystyle{ x+1 }[/math], что мы можем сделать в силу характеристического уравнения. Получим [math]\displaystyle{ x^3=x^2+x=(x+1)+x=2x+1. }[/math] Затем продолжим так же умножать на [math]\displaystyle{ x }[/math] и преобразовывать [math]\displaystyle{ x^2 }[/math], следуя первоначальному уравнению:

[math]\displaystyle{ \begin{align} x^4 & = 2x^2+x=2(x+1)+x= \\ & = 3x+2, \\ x^5 & = 3x^2+2x = 3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\ x^6 & = 5x^2+3x = 5(x+1)+3x=\\&=8x+5,\\ x^7 & = 8x^2+5x = 8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\ &\cdots\end{align} }[/math]

Таким образом образуется общее уравнение: [math]\displaystyle{ x^n=F_nx+F_{n-1}. }[/math] Чтобы это уравнение обратить в верное равенство и отсюда выразить сами числа Фибоначчи, нужно подставить корни [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ -\varphi^{-1}\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \varphi^n=F_n\varphi+F_{n-1}, \\ (-\varphi)^{-n}=-F_n\varphi^{-1}+F_{n-1}, \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi^n-(-\varphi)^{-n}=F_n[\varphi-(-\varphi)^{-1}],\qquad\varphi^n+(-\varphi)^{-n}\cdot\varphi^2=F_{n-1}(1+\varphi^2), }[/math]

[math]\displaystyle{ \color{Black}\tfrac1\sqrt5\left((\tfrac{1+\sqrt5}2)^n-(\tfrac{1-\sqrt5}2)^{n}\right)=F_n,\qquad\tfrac1\sqrt5\left((\tfrac{1+\sqrt5}2)^{n-1}-(\tfrac{1-\sqrt5}2)^{n-1}\right)=F_{n-1}. }[/math]

Следствие и обобщение

Из формулы Бине следует, что для всех [math]\displaystyle{ n\geqslant 0 }[/math] число [math]\displaystyle{ F_n }[/math] есть округление [math]\displaystyle{ \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}, }[/math] то есть [math]\displaystyle{ F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil. }[/math] В частности, при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] справедлива асимптотика [math]\displaystyle{ F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}. }[/math]

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

[math]\displaystyle{ F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right). }[/math]

При этом соотношение [math]\displaystyle{ F_{z+2} = F_{z+1} + F_z }[/math] выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

Иллюстрация формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи

• [math]\displaystyle{ F_1 + F_2 + F_3 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1. }[/math]

Доказательство

Докажем формулу индукцией по n:

База индукции: [math]\displaystyle{ n=0\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ F_0 = F_{2}-1 = 0. }[/math]

Шаг индукции: пусть утверждение для [math]\displaystyle{ n }[/math] верно:

[math]\displaystyle{ F_1+F_2+F_3+...+F_n=F_{n+2}-1. }[/math]

Тогда надо доказать утверждение для [math]\displaystyle{ n+1\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1+F_2+F_3+...+F_n+F_{n+1}=F_{n+3}-1. }[/math]

Раскладываем [math]\displaystyle{ F_{n+3} }[/math] на [math]\displaystyle{ F_{n+2} }[/math] и [math]\displaystyle{ F_{n+1}\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1+F_2+F_3+...+F_n+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1 }[/math]

Сокращаем обе части на [math]\displaystyle{ F_{n+1}\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1+F_2+F_3+...+F_n=F_{n+2}-1, }[/math]

что и требовалось доказать. ∎

• [math]\displaystyle{ F_1 + F_3 + F_5 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n}. }[/math]

Доказательство

Докажем формулу индукцией по n:

База индукции: [math]\displaystyle{ n=1\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1 = F_{2} = 1. }[/math]

Шаг индукции: Пусть утверждение для [math]\displaystyle{ n }[/math] верно:

[math]\displaystyle{ F_1 + F_3 + F_5 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n}. }[/math]

Тогда надо доказать утверждение для [math]\displaystyle{ n+1\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1 + F_3 + F_5 + \dots + F_{2n-1} + F_{2n+1} = F_{2n+2}. }[/math]

Раскладываем [math]\displaystyle{ F_{2n+2} }[/math] на [math]\displaystyle{ F_{2n+1} }[/math] и [math]\displaystyle{ F_{2n}\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1 + F_3 + F_5 + \dots + F_{2n-1} + F_{2n+1} = F_{2n+1} + F_{2n}. }[/math]

Сокращаем обе части на [math]\displaystyle{ F_{2n+1}\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1 + F_3 + F_5 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n}. }[/math]

что и требовалось доказать. ∎

• [math]\displaystyle{ F_2 + F_4 + F_6 + \dots + F_{2n} = F_{2n+1} - 1. }[/math]

Это тождество можно доказать вычитанием первого из второго: [math]\displaystyle{ \begin{alignat}{2} (F_1 + F_2 + \dots + F_{{\color{Red}2}n})-(F_1+F_3+\dots+F_{2n-1}) &= F_{{\color{Red}2}n+2} - 1-F_{2n}, \\ F_2+F_4+\dots+F_{2n} & = F_{2n+1}-1. \\ \end{alignat} }[/math]

• [math]\displaystyle{ F_{n+1} F_{n+2} - F_n F_{n+3} = (-1)^n. }[/math]
• [math]\displaystyle{ F_1^2 + F_2^2 + F_3^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1} }[/math] (см. рис.).
• [math]\displaystyle{ F_n^2 + F_{n+1}^2 = F_{2n+1}. }[/math]
• [math]\displaystyle{ F_{2n} = F_{n+1}^2 - F_{n-1}^2. }[/math]
• [math]\displaystyle{ F_{3n} = F_{n+1}^3 + F_n^3 - F_{n-1}^3. }[/math]
• [math]\displaystyle{ F_{5n} = 25 F_n^5 + 25(-1)^n F_n^3 + 5 F_n. }[/math]
• [math]\displaystyle{ F_{n+1} = C^0_n + C^1_{n-1} + C^2_{n-2} + \dots }[/math], где [math]\displaystyle{ C_n^k }[/math] — биномиальные коэффициенты.

И более общие формулы:

• [math]\displaystyle{ F_{n+m} = F_{n-1} F_m + F_n F_{m+1} = F_{n+1} F_{m+1} - F_{n-1} F_{m-1}. }[/math]
• [math]\displaystyle{ F_{(k+1)n} = F_{n-1} F_{kn} + F_n F_{kn+1}. }[/math]
• [math]\displaystyle{ F_n = F_l F_{n-l+1} + F_{l-1} F_{n-l}. }[/math]
• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: [math]\displaystyle{ F_{n+1} = K_n(1, \dots, 1), }[/math] то есть

  [math]\displaystyle{ F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} }[/math], а также [math]\displaystyle{ \ F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & i & 0 & \cdots & 0 \\ i & 1 & i & \ddots & \vdots\\ 0 & i & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & i \\ 0 & \cdots & 0 & i & 1 \end{pmatrix}, }[/math]

где матрицы имеют размер [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] и где i — мнимая единица.

• Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышёва:

  [math]\displaystyle{ F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right), }[/math]

  [math]\displaystyle{ F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right). }[/math]

• Для любого n справедливо

  [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}. }[/math]

• Как следствие, подсчёт определителей даёт тождество Кассини:

[math]\displaystyle{ (-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2. }[/math]

• С равенством Кассини сопряжено более общее утверждение, названное в честь Эжена Каталана:[math]\displaystyle{ F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n-r}F_r^2. }[/math]

• [math]\displaystyle{ F_{n+1} = \frac{F_n + \sqrt{5 F_n^2 + 4(-1)^n}}{2}. }[/math]
  Это утверждение выводится из тождества Кассини при помощи основного соотношения чисел Фибоначчи: [math]\displaystyle{ (-1)^n = F_{n+1}(F_{n+1}-F_n) - F_n^2 }[/math] [math]\displaystyle{ \Longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ 0 = {\color{Red}F_{n+1}}^2-{\color{Red}F_{n+1}}F_n - (F_n^2 + (-1)^n). }[/math]

Свойства

Тринадцать ([math]\displaystyle{ F_7 }[/math]) способов расположения длинных (красные) и коротких слогов (серые) в каденции длины шесть: пять ([math]\displaystyle{ F_5 }[/math]) заканчивается длинным слогом и восемь ([math]\displaystyle{ F_6 }[/math]) — коротким

Числа Фибоначчи — это суммы «мелких» диагоналей (показаны красным) треугольника Паскаля

Последовательные наклоны плоскости и график приближений к золотому сечению, рассчитанному путём деления каждого числа Фибоначчи на предыдущее

• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, то есть [math]\displaystyle{ (F_m,F_n) = F_{(m,n)}. }[/math] Следствия:
  • [math]\displaystyle{ F_m }[/math] делится на [math]\displaystyle{ F_n }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ m }[/math] делится на [math]\displaystyle{ n }[/math] (за исключением [math]\displaystyle{ n=2 }[/math]). В частности, [math]\displaystyle{ F_m }[/math] делится на [math]\displaystyle{ F_3=2 }[/math] (то есть является чётным) только для [math]\displaystyle{ m=3k; }[/math] [math]\displaystyle{ F_m }[/math] делится на [math]\displaystyle{ F_4=3 }[/math] только для [math]\displaystyle{ m=4k; }[/math] [math]\displaystyle{ F_m }[/math] делится на [math]\displaystyle{ F_5=5 }[/math] только для [math]\displaystyle{ m=5k }[/math] и т. д.
  • [math]\displaystyle{ F_m }[/math] может быть простым только для простых [math]\displaystyle{ m }[/math] (с единственным исключением [math]\displaystyle{ m=4 }[/math]). Например, число [math]\displaystyle{ F_{13}=233 }[/math] простое, и его индекс 13 также прост. Но, даже если число [math]\displaystyle{ m }[/math] простое, число [math]\displaystyle{ F_m }[/math] не всегда оказывается простым, и наименьший контрпример — [math]\displaystyle{ F_{19}=4181=37\cdot 113. }[/math] Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
• Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен [math]\displaystyle{ x^2-x-1 }[/math] имеет корни [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ -\frac{1}{\varphi}. }[/math]
• Отношения [math]\displaystyle{ \frac{F_{n+1}}{F_n} }[/math] являются подходящими дробями золотого сечения [math]\displaystyle{ \phi\colon }[/math] в частности, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi. }[/math]
• Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

  [math]\displaystyle{ F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}. }[/math]

• В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:

  [math]\displaystyle{ F_0=0^2=0, }[/math] [math]\displaystyle{ F_1=1^2=1, }[/math] [math]\displaystyle{ F_2=1^2=1, }[/math] [math]\displaystyle{ F_{12}=12^2=144. }[/math]

• Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

  [math]\displaystyle{ x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2} }[/math]

  • В частности, 1/998,999 = 0.001001002003005008013021…
• Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

  [math]\displaystyle{ z(x,y) = 2xy^4 + x^2 y^3 - 2 x^3 y^2 - y^5 - x^4 y + 2y }[/math]

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.

• Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
• Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа [math]\displaystyle{ n }[/math] называется периодом Пизано и обозначается [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]. Периоды Пизано [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math] образуют последовательность:

  1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS).

  • В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом [math]\displaystyle{ \pi(10)=60 }[/math], последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом [math]\displaystyle{ \pi(100)=300 }[/math], последние три цифры — с периодом [math]\displaystyle{ \pi(1000)=1500, }[/math] последние четыре — с периодом [math]\displaystyle{ \pi(10000)=15000, }[/math] последние пять — с периодом [math]\displaystyle{ \pi(100000)=150000 }[/math] и т. д.
• Натуральное число [math]\displaystyle{ N }[/math] является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ 5N^2 + 4 }[/math] или [math]\displaystyle{ 5N^2 - 4 }[/math] является квадратом.
• Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.
• Число Фибоначчи [math]\displaystyle{ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n }[/math] равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних единиц. При этом [math]\displaystyle{ F_{n+1} }[/math] равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а [math]\displaystyle{ F_n }[/math] — начинающихся с единицы.
• Произведение любых [math]\displaystyle{ n }[/math] подряд идущих чисел Фибоначчи делится на произведение первых [math]\displaystyle{ n }[/math] чисел Фибоначчи.
• Бесконечная сумма чисел, обратных числам Фибоначчи, сходится, его сумма («обратная постоянная Фибоначчи») равна 3,359884...

Вариации и обобщения

Основная статья: Обобщение чисел Фибоначчи

• Числа трибоначчи
• Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка [math]\displaystyle{ F_n = U_n(1,-1) }[/math].
  • При этом их дополнением являются числа Люка [math]\displaystyle{ L_n = V_n(1,-1) }[/math].

В других областях

Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательные числа Фибоначчи, встречаются у самых разных растений

Числа Фибоначчи в интерьере станции метро Ломоносовский проспект

Число возможных предков на линии наследования Х-хромосомы в данном поколении предков следует последовательности Фибоначчи (Хатчисон Л. Растущее семейное древо: сила ДНК в восстановлении семейных отношений)

Иллюстрация модели Фогеля для n = 1 ... 500

Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат.

В природе

• Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи, если листья (почки) на однолетнем приросте (побеге, стебле) имеют так называемое спиральное листорасположение. При этом число последовательно расположенных листьев (почек) по спирали плюс один, а также число совершенных при этом полных оборотов спирали вокруг оси однолетнего прироста (побега, стебля) выражаются обычно первыми числами Фибоначчи.
• Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.

В искусстве

В поэзии чаще находят отношение «золотого сечения» (золотую пропорцию), связанное через формулу Бине с числами Фибоначчи. Например, в поэме Ш. Руставели «Витязь в тигровой шкуре» и на картинах художников.

Однако числа Фибоначчи встречаются и непосредственно в поэзии и в музыке

В кодировании

В теории кодирования предложены устойчивые так называемые «коды Фибоначчи», причём основание этих кодов — иррациональное число.

См. также

• Дерево Фибоначчи
• Метод Фибоначчи с запаздываниями
• Метод Фибоначчи поиска экстремума
• Фибоначчи
• Фибоначчиева система счисления
• Числа Бине
• Числа Леонардо
• Таблица Витхоффа
• Последовательность коров Нараяны
• Золотое сечение
• Пропорционирование

Литература

• Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
• А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
• А. Н. Рудаков. Числа Фибоначчи и простота числа 2¹²⁷ − 1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
• Дональд Кнут. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol. 1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4.
• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7.
• Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — С. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0.
• Ball, Keith M (2003), 8: Fibonacci's Rabbits Revisited, Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11321-0 .
• Beck, Matthias & Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
• Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
  • Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
• Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (англ.). — First trade paperback. — New York City: Broadway Books, 2003. — ISBN 0-7679-0816-3.
• Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres, vol. 1, Paris: Gauthier-Villars, Théorie des nombres в «Книгах Google», <https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft> .
• Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6 

Ссылки

• Первые 300 чисел Фибоначчи (англ.).
• Числа Фибоначчи в природе (англ.).