Действия с числовыми рядами

Действия с числовыми рядами — некоторые (арифметические или перестановочные) манипуляции с одним или несколькими числовыми рядами. Эти действия могут сохранять или нарушать вид сходимости.

Сохраняющий условную сходимость

Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, то есть сохраняют сумму ряда, только если она существует):

Линейная комбинация рядов

Если ряды [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} a_k }[/math] и [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} b_k }[/math] сходятся, то сходится и ряд [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} (\alpha a_k + \beta b_k) }[/math] (α, β — постоянные), при этом

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha \sum_{k=1}^{\infty} a_k+ \beta \sum_{k=1}^{\infty} b_k }[/math]

Группировка членов ряда

Сгруппируем слагаемые ряда [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} a_k }[/math], объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} b_k }[/math]. Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

Другие

Перемножение рядов

Пусть имеются два ряда [math]\displaystyle{ (A) = \sum_{i\geqslant 1} a_i }[/math] и [math]\displaystyle{ (B) = \sum_{j\geqslant 1} b_j }[/math].

Чтобы их перемножить, нужно, как и в случае конечных сумм, взять все попарные произведения [math]\displaystyle{ a_ib_j }[/math] и сложить. Однако, в отсутствие абсолютной сходимости, существенную роль играет порядок сложения этих чисел, поэтому существует несколько различных правил перемножения рядов, отличающихся этим порядком, а также определённой группировкой слагаемых. Так, например, по разным правилам перемножаются степенные (мультистепенные) ряды, ряды Дирихле, ряды Фурье и другие виды рядов. Результатом перемножения рядов (A) и (B) является ряд (C): [math]\displaystyle{ \sum_{n\geqslant 1} c_n }[/math], где [math]\displaystyle{ c_n }[/math] - сумма некоторой группы членов [math]\displaystyle{ a_ib_j }[/math].

Для применения произведений рядов важно, чтобы соблюдалось ключевое правило (принцип мультипликативности суммы ряда): Сумма ряда-произведения должна быть равна произведению сумм рядов-множителей.

Это, однако, не всегда так - мультипликативность имеет место лишь при определённых условиях. Примеры произведений и условий выполнимости принципа мультипликативности:

1. Прямое произведение рядов - простейшее и естественнейшее (но не общепринятое!) правило перемножения рядов. В этом случае

1. [math]\displaystyle{ c_n=\sum\limits_{\max\{i,j\}=n}a_ib_j }[/math] - по определению;
2. [math]\displaystyle{ c_1+c_2+\ldots+c_n = (a_1+a_2+\ldots+a_n)(b_1+b_2+\ldots+b_n) }[/math] (частичная сумма ряда-произведения равна произведению соответствующих частичных сумм рядов-множителей);
3. Мультипликативность: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n\geqslant 1}c_n = \sum\limits_{i\geqslant 1}a_i\sum\limits_{j\geqslant 1}b_j }[/math] - всегда, как только сходятся ряды (A) и (B) (сходимость ряда (C) будет обеспечена в этом случае автоматически).

2. Правило Коши перемножения рядов (соответствует правилу перемножения степенных рядов, также является общепринятым для рядов общего вида):

1. [math]\displaystyle{ c_n=\sum\limits_{i+j=n}a_ib_j }[/math] - по определению;
2. Мультипликативность: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n\geqslant 1}c_n = \sum\limits_{i\geqslant 1}a_i\sum\limits_{j\geqslant 1}b_j }[/math], при одном из условий:
   1. если сходятся все три ряда (A), (B), (C) (условие Абеля);
   2. ряды (A) и (B) сходятся, причём один из них - абсолютно (условие Мертенса).

3. Правило Дирихле - применяется для перемножения рядов специального вида (ряды Дирихле)

1. [math]\displaystyle{ c_n=\sum\limits_{i\cdot j=n}a_ib_j }[/math] - по определению;
2. Мультипликативность: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n\geqslant 1}c_n = \sum\limits_{i\geqslant 1}a_i\sum\limits_{j\geqslant 1}b_j }[/math], при условии, что ряды (A) и (B) сходятся, причём один из них - абсолютно (условие Мертенса).

Пример, когда ряды (A) и (B) сходятся (неабсолютно), а их произведение по правилу Коши - расходится: [math]\displaystyle{ a_n = b_n = (-1)^n/\sqrt{n} }[/math], при [math]\displaystyle{ n\geqslant 1 }[/math].

Тогда, если [math]\displaystyle{ i+j=n }[/math], то [math]\displaystyle{ |a_ib_j|\geqslant\frac{2}{n} }[/math], и модуль общего члена ряда [math]\displaystyle{ |c_n|\geqslant (n-1)\cdot\frac{2}{n} }[/math] не стремится к нулю.

Перестановка членов ряда

• Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд (теорема о перестановке ряда).
• Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного действительного числа (а также для [math]\displaystyle{ +\infty }[/math], [math]\displaystyle{ -\infty }[/math]) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к этому числу (расходится к [math]\displaystyle{ +\infty }[/math], [math]\displaystyle{ -\infty }[/math]), либо предел последовательности частичных сумм не будет существовать (теорема Римана).

См. также

• Методы интегрирования