Сходимость по Борелю

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Определение

Пусть дан числовой ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n. }[/math] Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} e^{-x} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}S_k = S, }[/math] где S_k — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.

Пусть дан числовой ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n. }[/math] Ряд называется сходящимся по Борелю (или B^'-сходящимся), если существует интеграл:

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty dt e^{-t}\sum_n\frac{a_n}{n!}t^n = S }[/math]

Пример

Рассмотрим ряд [math]\displaystyle{ \sum_0^\infty n!x^n. }[/math] Данный ряд является расходящимся для произвольного [math]\displaystyle{ x\neq 0. }[/math] Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

[math]\displaystyle{ \sum_0^\infty n!x^n=\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_{n=0}^\infty (xt)^n =\int _0^\infty dt\frac{e^{-t}}{1-xt}, }[/math]

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

Свойства

Пусть функция:

[math]\displaystyle{ f(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k} }[/math]

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку [math]\displaystyle{ P \in C }[/math] проведём отрезок [math]\displaystyle{ OP }[/math] и прямую [math]\displaystyle{ L_p\,, }[/math], которая проходит через точку Р перпендикулярно к [math]\displaystyle{ OP }[/math]. Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых [math]\displaystyle{ L_p\,, }[/math] обозначим [math]\displaystyle{ \Pi }[/math]. Тогда граница [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] области [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] называется многоугольником Бореля функции f(z), а область [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k} }[/math]

является B-сходящимся в области [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] и не является B-сходящимся в области [math]\displaystyle{ \Pi^* }[/math] — дополнены до [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] .

См. также

Ссылки

Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Borel Summation

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .