Гармонический ряд

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\mathcal{\infty} \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots }[/math].

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: [math]\displaystyle{ k }[/math]-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной [math]\displaystyle{ \frac{1}{k} }[/math] от длины исходной струны. Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов.

Суммы первых n членов ряда (частичные суммы)

Основная статья: Гармонические числа

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. Частичная сумма n первых членов гармонического ряда называется n-м гармоническим числом:

[math]\displaystyle{ H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n} }[/math]

Разница между [math]\displaystyle{ n }[/math]-м гармоническим числом и натуральным логарифмом [math]\displaystyle{ n }[/math] сходится к постоянной Эйлера — Маскерони [math]\displaystyle{ \gamma = 0{,}5772... }[/math].

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме [math]\displaystyle{ H_1=1 }[/math], не является целым: [math]\displaystyle{ \forall n\gt 1\;\;\;\;\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\notin\mathbb{N} }[/math].

Некоторые значения частичных сумм

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}H_1 &=& 1 \\\\ H_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ H_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ H_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083 \\\\ H_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283\end{matrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}H_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\H_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ H_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718 \\\\ H_{10^3} &\approx& 7{,}485 \\\\ H_{10^6} &\approx& 14{,}393\end{matrix} }[/math]

Формула Эйлера

В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых [math]\displaystyle{ n }[/math] членов ряда:

[math]\displaystyle{ H_n = \ln n + \gamma + \varepsilon _n }[/math],

где [math]\displaystyle{ \gamma = 0{,}5772... }[/math] — постоянная Эйлера — Маскерони, а [math]\displaystyle{ \ln }[/math] — натуральный логарифм.

При [math]\displaystyle{ n\rightarrow \infty }[/math] значение [math]\displaystyle{ \varepsilon _n \rightarrow 0, }[/math] следовательно, для больших [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ H_n\approx \ln n + \gamma }[/math] — формула Эйлера для суммы первых [math]\displaystyle{ n }[/math] членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера

[math]\displaystyle{ n }[/math]	[math]\displaystyle{ H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln n + \gamma }[/math]	[math]\displaystyle{ \varepsilon _n }[/math], (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

[math]\displaystyle{ H_n \asymp \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \frac{1}{252n^6} \dots = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}}, }[/math] где [math]\displaystyle{ B_{2k} }[/math] — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Расходимость ряда

Гармонический ряд расходится: [math]\displaystyle{ s_n\rightarrow \infty }[/math] при [math]\displaystyle{ n\rightarrow \infty, }[/math] однако очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10⁴³ элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его со следующим телескопическим рядом, который получается из логарифмирования [math]\displaystyle{ \left (1 + \frac{1}{n} \right )^n\lt e }[/math]:

[math]\displaystyle{ v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \lt \frac {1}{n}. }[/math]

Частичная сумма этого ряда, очевидно, равна [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} v_i= \ln(n+1). }[/math] Последовательность таких частичных сумм расходится; следовательно, по определению телескопический ряд расходится, но тогда из признака сравнения рядов следует, что гармонический ряд тоже расходится.

Доказательство через предел последовательности частичных сумм

Рассмотрим последовательность [math]\displaystyle{ H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}. }[/math] Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть, что [math]\displaystyle{ \exists \varepsilon\gt 0: \forall k\in \mathbb{N}\ \exists n\gt k,\exists p \in \mathbb{N}: \left \vert H_{n+p}-H_n \right \vert\geq \varepsilon. }[/math] Оценим разность [math]\displaystyle{ \left \vert H_{n+p}-H_n \right \vert=\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n+p}\geq\frac{1}{n+p}+\cdots+\frac{1}{n+p}=\frac{p}{n+p}. }[/math] Пусть [math]\displaystyle{ p\doteq n. }[/math] Тогда [math]\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N}: \left \vert H_{2n}-H_n \right \vert\geq \frac{1}{2}. }[/math] Следовательно, данная последовательность не является фундаментальной и по критерию Коши расходится. Тогда по определению ряд также расходится.

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, если сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, в котором знаменатели дополнены до степени двойки. Этот ряд группируется, и получается третий ряд, который расходится:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} \gt 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots. \end{align} }[/math]

(Группировка сходящихся рядов всегда дает сходящийся ряд, а значит если после группировки получился ряд расходящийся, то и исходный тоже расходится.)

Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Связанные ряды

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом (частный случай ряда Дирихле) называют ряд

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \frac{1}{4^\alpha} + \cdots +\frac{1}{k^\alpha} + \cdots }[/math].

Этот ряд расходится при [math]\displaystyle{ \alpha \leqslant 1 }[/math] и сходится при [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math].

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] равна значению дзета-функции Римана:

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=\zeta(\alpha) }[/math]

Для чётных это значение явно выражается через число пи — например, сумма ряда обратных квадратов [math]\displaystyle{ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} }[/math]. Но уже для α=3 его значение (константа Апери) аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение [math]\displaystyle{ \zeta(1+\frac{1}{n}) \sim n. }[/math]

Знакопеременный ряд

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия)

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots }[/math]

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

[math]\displaystyle{ 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2. }[/math]

Эта формула — частный случай ряда Меркатора, то есть ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}. }[/math]

Это соотношение известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд

В 2003 году изучены свойства случайного ряда

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ s_n }[/math] — независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2, имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642…,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10⁻⁴².

«Истончённый» гармонический ряд

См. Ряд Кемпнера

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшийся ряд сходится, и его сумма меньше 80. Позже была найдена более точная оценка, ряд Кемпнера сходится к [math]\displaystyle{ 22{,}92067661926415034816 }[/math] (последовательность A082838 в OEIS). Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Из этого можно сделать ошибочное заключение о сходимости исходного гармонического ряда, что не верно, поскольку с ростом разрядов в числе [math]\displaystyle{ n }[/math] всё меньше слагаемых берётся для суммы «истончённого» ряда. То есть, в конечном счёте отбрасывается подавляющее большинство членов, образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.