Равномерная сходимость

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное множество, [math]\displaystyle{ Y=(Y,d) }[/math] — метрическое пространство, [math]\displaystyle{ f_n\colon X\to Y, \ n = 1, 2,\dots }[/math] — последовательность функций. Говорят, что последовательность [math]\displaystyle{ f_n }[/math] равномерно сходится к функции [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math], если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует такой номер [math]\displaystyle{ N_\varepsilon }[/math], что для всех номеров [math]\displaystyle{ n\gt N_\varepsilon }[/math] и всех точек [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] выполняется неравенство

[math]\displaystyle{ \left|f_n(x) - f(x)\right| \lt \varepsilon }[/math]

Обычно обозначается [math]\displaystyle{ f_n\rightrightarrows f }[/math].

Это условие равносильно тому, что

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X} \left|f_n(x) - f(x)\right|=0. }[/math]

Свойства

• Если [math]\displaystyle{ Y }[/math] — линейное нормированное пространство и последовательности отображений [math]\displaystyle{ f_n\colon X\to Y }[/math] и [math]\displaystyle{ g_n\colon X\to Y }[/math], [math]\displaystyle{ n=1,2,\dots }[/math] равномерно сходятся на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math], то последовательности [math]\displaystyle{ \{ f_n+ g_n\} }[/math] и [math]\displaystyle{ \{ \alpha f_n\} }[/math] при любых [math]\displaystyle{ \alpha\in \R }[/math] также равномерно сходятся на [math]\displaystyle{ X }[/math].

• Для вещественнозначных функций (или, более общо, если [math]\displaystyle{ Y }[/math] — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений [math]\displaystyle{ f_n\colon X\to \R }[/math], равномерно сходится на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ g\colon X\to \R }[/math] ограниченное отображение, то последовательность [math]\displaystyle{ \{g f_n\} }[/math] также равномерно сходится на [math]\displaystyle{ X }[/math].

• Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — топологическое пространство, [math]\displaystyle{ Y }[/math] — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке [math]\displaystyle{ x_0\in X }[/math] отображений [math]\displaystyle{ f_n\colon X\to Y }[/math] равномерно сходится на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] к отображению [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math], то это отображение также непрерывно в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

• Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций [math]\displaystyle{ f_n \colon [a,b]\to \R }[/math] равномерно сходится на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] к функции [math]\displaystyle{ f \colon [a,b]\to\R }[/math], то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого [math]\displaystyle{ x\in [a,b] }[/math] имеет место равенство
      [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^x f_n(t)dt=\int\limits_a^x f(t)dt }[/math]
  и сходимость последовательности функций
      [math]\displaystyle{ x\mapsto \int\limits_a^x f_n(t)dt }[/math]
  на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] к функции
      [math]\displaystyle{ x\mapsto \int\limits_a^x f(t)dt }[/math]
  равномерна.

• Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] функций [math]\displaystyle{ f_n \colon [a,b] \to\R }[/math], сходится в некоторой точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], a последовательность их производных равномерно сходится на [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], то последовательность [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] также равномерно сходится на [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
• Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
• Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.