Мультисекция ряда

Мультисекцией ряда называется ряд, составленный из членов исходного ряда, индексы которых образуют арифметическую прогрессию.

Для ряда:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n }[/math]

мультисекцией является всякий ряд вида:

[math]\displaystyle{ \sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{sm+d}\cdot x^{sm+d}, }[/math]

где s, d — целые числа, 0 ⩽ d < s.

Мультисекция аналитических функций

Для мультисекции ряда аналитической функции

[math]\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n }[/math]

справедлива формула:

[math]\displaystyle{ \sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{sm+d}\cdot x^{sm+d} = \frac{1}{s}\cdot \sum_{k=0}^{s-1} w^{-kd}\cdot F(w^k\cdot x), }[/math]

где [math]\displaystyle{ w = e^{\frac{2\pi i}{s}} }[/math] — первообразный корень степени s из единицы.

Пример

Мультисекцией бинома Ньютона

[math]\displaystyle{ (1+x)^q = {q\choose 0} x^0 + {q\choose 1} x + {q\choose 2} x^2 + \dots }[/math]

при x = 1 является следующее тождество для суммы биномиальных коэффициентов с шагом s:

[math]\displaystyle{ {q\choose d} + {q\choose d+s} + {q\choose d+2s} + \dots = \frac{1}{s}\cdot \sum_{k=0}^{s-1} \left( 2\cos\frac{\pi k}{s}\right )^q\cdot \cos \frac{\pi(q-2d)k}{s}. }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Series Multisection (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Somos, M. A Multisection of q-Series, 2006.
• Дж. Риордан. §4.3 Мультисекция рядов // Комбинаторные тождества = Combinatorial Identities. — М.: Наука, 1982. — С. 132—141.
• Ефремов Д. Решение задачи на премию № 3 // В.О.Ф.Э.М.. — 1911. — № 530. — С. 40—48.