Сходимость по Эйлеру

Сходимость по Эйлеру — обобщение понятия сходимости знакопеременного ряда, предложенное Эйлером.

Определение

Пусть дан числовой ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n. }[/math] Ряд называется сходящимся по Эйлеру, если существует предел:

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\Delta ^{k} a_{0}}{2^{k+1}} = s_{e}(A) }[/math]

Пример

• Рассмотрим ряд [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} 2^{k} }[/math]. Последовательностями разностей будут [math]\displaystyle{ 1, 2, 4, 8, 16, ... }[/math], [math]\displaystyle{ -1, -2, -4, -8, ... }[/math], [math]\displaystyle{ 1, 2, 4, 8, ... }[/math], [math]\displaystyle{ -1, -2, -4, -8, ... }[/math], преобразование Эйлера приводит к ряду [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + ... = \frac{1}{3} }[/math].

Свойства

• Суммирование по Эйлеру является линейным и регулярным.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю

Литература

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М., 1986. — 408 с.