Сходимость по Эйлеру

Сходимость по Эйлеру — обобщение понятия сходимости знакопеременного ряда, предложенное Эйлером.

Определение

Пусть дан числовой ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ Ряд называется сходящимся по Эйлеру, если существует предел:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}^k{a}_0}{2^{k+1}}=s_e(A)$

Пример

• Рассмотрим ряд $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{2}^k$. Последовательностями разностей будут $1,2,4,8,16,...$, $-1,-2,-4,-8,...$, $1,2,4,8,...$, $-1,-2,-4,-8,...$, преобразование Эйлера приводит к ряду $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+...=\frac{1}{3}$.

Свойства

• Суммирование по Эйлеру является линейным и регулярным.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю

Литература

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М., 1986. — 408 с.