Признак Жамэ

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Виктором Жамэ.

Формулировка

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] сходится, если при [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] выполняется неравенство: [math]\displaystyle{ J_n=\frac{n}{\ln n}\cdot \left(1-\sqrt[n]{a_n}\right)\geqslant 1 + \delta, }[/math] где [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]. Если же [math]\displaystyle{ J_n\leqslant 1 }[/math], при [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math], то ряд расходится.

Доказательство

1. Пусть для ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] выполняется условие:

[math]\displaystyle{ \frac{n}{\ln n}\cdot \left( 1-\sqrt[n]{a_n}\right)\geqslant \delta\gt 1 }[/math].

Преобразуем это неравенство к виду:

[math]\displaystyle{ 0\leqslant a_n\leqslant\left(1-\frac{\delta\ln n}{n}\right)^n }[/math].

Поскольку всегда можно найти достаточно большое [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] такое, что:

[math]\displaystyle{ 1-\frac{\delta\ln n}{n}\gt 0 }[/math],

то можно перейти к выражению:

[math]\displaystyle{ 0\leqslant a_n\leqslant\exp\left(n\ln\left(1-\frac{\delta\ln n}{n}\right)\right) }[/math].

Применив разложение функции [math]\displaystyle{ \ln(1-x) }[/math] в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

[math]\displaystyle{ 0\leqslant a_n\leqslant\exp\left(-\delta\ln n-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n}\right)\right) }[/math]

Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:

[math]\displaystyle{ 0\leqslant a_n\leqslant\frac1{n^\delta}\exp\left(-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n}\right)\right) }[/math]

Теперь здесь применим разложение в ряд Маклорена для функции [math]\displaystyle{ e^x }[/math]:

[math]\displaystyle{ 0\leqslant a_n\leqslant\frac1{n^\delta}-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n^{\delta+1}}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n^{\delta+1}}\right) }[/math]

Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что [math]\displaystyle{ \delta^2\frac{\ln^2 n}{2n^{\delta+1}}\geqslant 0 }[/math], получаем:

[math]\displaystyle{ 0\leqslant a_n\leqslant\frac1{n^\delta}-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n^{\delta+1}}\leqslant\frac1{n^\delta} }[/math]

Последнее, согласно признаку сравнения, означает, что рассматриваемый ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] сходится и расходится одновременно с рядом [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^\delta} }[/math] (ряд Дирихле), который сходится при [math]\displaystyle{ \delta\gt 1 }[/math] и расходится при [math]\displaystyle{ \delta\leqslant 1 }[/math].

2. Пусть для ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] выполняется условие:

[math]\displaystyle{ \frac{n}{\ln n}\cdot \left(1-\sqrt[n]{a_n}\right)\leqslant 1 }[/math]

Преобразуем это неравенство к виду:

[math]\displaystyle{ a_n\geqslant\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^n=\exp\left(n\ln\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)\right) }[/math].

Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

[math]\displaystyle{ a_n \geqslant \frac1{n}-\frac{\ln^2n}{2n^2}+o\left(\frac{\ln^2n}{n^2}\right)=o\left(\frac1{n}\right) }[/math]

То есть согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] расходится, поскольку расходится ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{n} }[/math] (гармонический ряд). ■

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: [math]\displaystyle{ J=\lim_{n \to \infty} J_n }[/math] то при [math]\displaystyle{ J \gt 1 }[/math] ряд сходится, а при [math]\displaystyle{ J \lt 1 }[/math] — расходится.

Обобщение

Пусть на [math]\displaystyle{ \N }[/math] заданы три положительно определённые функции: [math]\displaystyle{ \varphi(n), g(n), f(n) }[/math], причём [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math] и [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] являются неограниченно возрастающими, и для них выполняются условия: [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{\varphi(n)g(n)}{f(n)\ln n}=q }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{g(n)}{f(n)}=0 }[/math]. Тогда, если для ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math], при [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] выполняется неравенство: [math]\displaystyle{ \left(1-a_n^\frac1{\varphi(n)}\right)\frac{f(n)}{g(n)}\geqslant p\gt \frac1{q} }[/math], то ряд сходится. Если же для ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math], при [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] выполняется неравенство: [math]\displaystyle{ \left(1-a_n^\frac1{\varphi(n)}\right)\frac{f(n)}{g(n)}\leqslant p\lt \frac1{q} }[/math], то ряд расходится.

Литература

• Б. П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу, с. 254.