Абсолютная сходимость

Сходящийся ряд [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей [math]\displaystyle{ \sum |a_n| }[/math], иначе — сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл [math]\displaystyle{ \int f(x)\,dx }[/math] от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от её модуля [math]\displaystyle{ \int |f(x)|\,dx }[/math].

В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

Ряды

Признаки абсолютной сходимости

Признак сравнения

Если [math]\displaystyle{ \exist N_0: |a_n| \leqslant b_n }[/math] при [math]\displaystyle{ n \geqslant N_0 }[/math], то:

если ряд [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] сходится, то ряд [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] сходится абсолютно
если ряд [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] расходится, то ряд [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] расходится

Согласно критерию Коши, [math]\displaystyle{ \forall \varepsilon \gt 0\ \exist N \geqslant N_0\ \forall m \geqslant n \geqslant N:\left|\sum_{k=n}^{m}b_k\right| \leqslant \varepsilon }[/math]. Значит, [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=n}^{m}a_k\right| \leqslant \sum_{k=n}^{m}|a_k| \leqslant \sum_{k=n}^{m}b_k \leqslant \left|\sum_{k=n}^{m}b_k\right| \leqslant \varepsilon }[/math], и по критерию Коши ряд [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] сходился, то и ряд [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] сходился бы.

Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами

Пусть [math]\displaystyle{ a_1 \geqslant a_2 \geqslant a_3 \geqslant ... \geqslant 0 }[/math]. Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n }[/math] сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + ... }[/math]

Доказательство

Обозначим:

[math]\displaystyle{ s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n }[/math]

[math]\displaystyle{ t_k = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^{k}a_{2^k} }[/math]

Поскольку сходимость ряда с неотрицательными членами эквивалентна ограниченности последовательности его частичных сумм, то достаточно показать, что [math]\displaystyle{ s_n }[/math] и [math]\displaystyle{ t_k }[/math] ограничены или не ограничены одновременно.

При [math]\displaystyle{ n \lt 2^k }[/math] имеем

[math]\displaystyle{ s_n \leqslant a_1 + (a_2 + a_3) + ... + (a_{2^k} + ... + a_{2^{k+1}-1}) \leqslant a_1 + 2a_2 + ... + 2^{k}a_{2^k} = t_k }[/math]

Таким образом, [math]\displaystyle{ s_n \leqslant t_k }[/math]

С другой стороны, при [math]\displaystyle{ n \gt 2^k }[/math]

[math]\displaystyle{ s_n \geqslant a_1 + a_2 + (a_3 + a_4) + ... + (a_{2^{k-1}+1} + ... + a_{2^k}) \geqslant \frac{1}{2}a_1 + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{k-1}a_{2^k} = \frac{1}{2}t_k }[/math]

Таким образом, [math]\displaystyle{ 2s_n \geqslant t_k }[/math] и последовательности [math]\displaystyle{ s_n }[/math] и [math]\displaystyle{ t_k }[/math] или обе ограничены, или обе не ограничены.

Признаки Коши и д’Аламбера

Признак д’Аламбера

Ряд [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math]

Сходится абсолютно, если [math]\displaystyle{ \varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \lt 1 }[/math]
Расходится, если [math]\displaystyle{ \varliminf_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \gt 1 }[/math]
Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых [math]\displaystyle{ \varliminf_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leqslant 1 \leqslant \varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| }[/math]

Признак Коши

Пусть задан ряд [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha = \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} }[/math]. Тогда

Если [math]\displaystyle{ \alpha \lt 1 }[/math], то ряд сходится абсолютно
Если [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math], то ряд расходится
Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых [math]\displaystyle{ \alpha = 1 }[/math]

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями [math]\displaystyle{ \varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.

Если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов. Признак Коши сильнее признака Даламбера, поскольку существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

Интегральный признак Коши — Маклорена

Пусть задан ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n, a_n \geqslant 0 }[/math] и функция [math]\displaystyle{ f(x): \R \to \R }[/math] такая, что:

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] нестрого монотонно убывает: [math]\displaystyle{ x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \geqslant f(x_2) }[/math]
[math]\displaystyle{ \forall \ n: \ f(n) = a_n }[/math]

Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n }[/math] и интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty f(x) dx }[/math] сходятся или расходятся одновременно, причём [math]\displaystyle{ \forall k \geqslant 1 \ \sum_{n=k}^{\infty} a_n \geqslant \int\limits_k^{\infty} f(x) dx \geqslant \sum_{n=k+1}^{\infty} a_n }[/math]

Признак Раабе

Пусть задан ряд [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math], [math]\displaystyle{ a_n \gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ R_n = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) }[/math].

Если [math]\displaystyle{ \varliminf_{n \to \infty} R_n \gt 1 }[/math], то ряд сходится
Если [math]\displaystyle{ \varlimsup_{n \to \infty} R_n \leqslant 1 }[/math], то ряд расходится
Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых [math]\displaystyle{ \varliminf_{n \to \infty} R_n \leqslant 1 \leqslant \varlimsup_{n \to \infty} R_n }[/math]

Признак Раабе основан на сравнении с обобщённым гармоническим рядом

Действия над рядами

Если оба ряда [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] сходятся абсолютно, то и их сумма [math]\displaystyle{ \sum (a_n + b_n) }[/math] сходится абсолютно
Если хотя бы один из рядов [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty b_n }[/math] сходится абсолютно, то их произведение по Коши [math]\displaystyle{ \sum c_n, c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} }[/math] сходится, если же оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение сходится абсолютно
Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждая его перестановка сходится. При этом все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.

Примеры

Рассмотрим ряд [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + ... }[/math]. Для этого ряда:

[math]\displaystyle{ \varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n]{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2}\right)^n = +\infty }[/math]

Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Рассмотрим ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-(-1)^n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1+1}}{2^{n-1}} = 8 }[/math]
[math]\displaystyle{ \varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1-1}}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} 2 \sqrt[n]{2^{(-1)^n}} = 2 }[/math]

Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} }[/math] сходится при [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math] и расходится при [math]\displaystyle{ \alpha \leqslant 1 }[/math], однако:

[math]\displaystyle{ \varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} n^{\alpha/n} = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha = 1 }[/math]

Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} }[/math] сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }[/math] расходится.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода

Определение

Несобственный интеграл первого рода [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx }[/math] называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx }[/math].

Свойства

из сходимости интеграла [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx }[/math] вытекает сходимость интеграла [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx }[/math].
Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
Если интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx }[/math] расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена и интегрируема на [math]\displaystyle{ [a; b- \varepsilon\ ] \quad \forall \varepsilon\ \in (0; b-a) }[/math], неограничена в левой окрестности точки [math]\displaystyle{ b }[/math]. Несобственный интеграл второго рода [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx }[/math] называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx }[/math].

Свойства

из сходимости интеграла [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx }[/math] вытекает сходимость интеграла [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx }[/math].
Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
Если интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx }[/math] расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Источники

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

См. также