Ряд Фурье

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва (явление Гиббса?!).

Ряд Фурье́ — представление функции [math]\displaystyle{ f }[/math] с периодом [math]\displaystyle{ \tau }[/math] в виде ряда

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos\left(k\frac{2\pi}{\tau}x+\theta_k\right) }[/math]

Этот ряд может быть также записан в виде

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ik \frac{2\pi}{\tau}x}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ A_k }[/math] — амплитуда [math]\displaystyle{ k }[/math]-го гармонического колебания,
[math]\displaystyle{ k\frac{2\pi}{\tau} = k\omega }[/math] — круговая частота гармонического колебания,
[math]\displaystyle{ \theta_k }[/math] — начальная фаза [math]\displaystyle{ k }[/math]-го колебания,
[math]\displaystyle{ \hat{f}_k }[/math] — [math]\displaystyle{ k }[/math]комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.[1]

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

История

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли[2]. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная)[3] функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией[4]. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле[5] и Бернхард Риман[6][7][8] выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики[9], теории перекрытия-оболочки[10] и т. д.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции [math]\displaystyle{ f\in {\mathcal L}([-\pi,\pi]) }[/math] (то есть функции, суммируемой на промежутке [math]\displaystyle{ ([-\pi,\pi]) }[/math], или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx), }[/math] (1)

где

[math]\displaystyle{ a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx, }[/math]
[math]\displaystyle{ a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, }[/math]
[math]\displaystyle{ b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, }[/math]

Числа [math]\displaystyle{ a_0 }[/math], [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ([math]\displaystyle{ n = 1, 2, \ldots }[/math]) называются коэффициентами Фурье функции [math]\displaystyle{ f }[/math]. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию [math]\displaystyle{ f\in\mathcal{L}([-\pi,\pi]) }[/math] в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты [math]\displaystyle{ a_0 }[/math], [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_n }[/math]. Если умножить правую часть (1) на [math]\displaystyle{ \cos(kx) }[/math] и проинтегрировать по промежутку [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math], то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент [math]\displaystyle{ a_k }[/math]. Аналогично для [math]\displaystyle{ b_k }[/math].

Ряд (1) для функции [math]\displaystyle{ f }[/math] из пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_2([-\pi,\pi]) }[/math] сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через [math]\displaystyle{ S_k(x) }[/math] частичные суммы ряда (1):

[math]\displaystyle{ S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) }[/math],

то их среднеквадратичное отклонение от функции [math]\displaystyle{ f }[/math] будет стремиться к нулю:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0 }[/math].

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) }[/math] комплекснозначных функций со скалярным произведением

[math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx }[/math].

Мы также рассматриваем систему функций

[math]\displaystyle{ \varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z} }[/math].

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция [math]\displaystyle{ f\in \mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) }[/math] может быть разложена по ним в ряд Фурье:

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx} }[/math],

где ряд в правой части сходится к [math]\displaystyle{ f }[/math] по норме в [math]\displaystyle{ L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) }[/math]. Здесь

[math]\displaystyle{ \hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx }[/math].

Коэффициенты [math]\displaystyle{ \hat{f}_k }[/math] связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

[math]\displaystyle{ \hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \hat{f}_0 = a_0/2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k\lt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k\gt 0 }[/math]

Для вещественнозначной функции коэффициенты [math]\displaystyle{ \hat{f}_k }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat{f}_{-k} }[/math] комплексно сопряжены.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства [math]\displaystyle{ L^2[-\pi,\pi] }[/math] с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система [math]\displaystyle{ \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\} }[/math] в гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math] и [math]\displaystyle{ f }[/math] — произвольный элемент из [math]\displaystyle{ H }[/math]. Предположим, что мы хотим представить [math]\displaystyle{ f }[/math] в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов [math]\displaystyle{ \{\varphi_k\} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n. }[/math]

Домножим это выражение на [math]\displaystyle{ \varphi_k }[/math]. С учётом ортогональности системы функций [math]\displaystyle{ \{\varphi_k\} }[/math] все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при [math]\displaystyle{ n=k }[/math]:

[math]\displaystyle{ (f, \varphi_k) = c_k\|\varphi_k\|^2. }[/math]

Числа

[math]\displaystyle{ c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2} }[/math]

называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента [math]\displaystyle{ f }[/math] по системе [math]\displaystyle{ \{\varphi_k\} }[/math], а ряд

[math]\displaystyle{ \sum_k c_k \varphi_k }[/math]

называется рядом Фурье элемента [math]\displaystyle{ f }[/math] по ортогональной системе [math]\displaystyle{ \{\varphi_k\} }[/math].

Ряд Фурье любого элемента [math]\displaystyle{ f }[/math] по любой ортогональной системе сходится в пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math], но его сумма не обязательно равна [math]\displaystyle{ f }[/math]. Для ортонормированной системы [math]\displaystyle{ {\varphi_k} }[/math] в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

  • система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
  • система является полной, то есть в [math]\displaystyle{ H }[/math] не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам [math]\displaystyle{ \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ... }[/math] одновременно.
  • система является замкнутой, то есть для любого [math]\displaystyle{ f\in H }[/math] выполнено равенство Парсеваля
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty |c_k|^2 = \|f\|^2 }[/math].
  • линейные комбинации элементов [math]\displaystyle{ \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ... }[/math] плотны в пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math].

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента [math]\displaystyle{ f }[/math] равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов [math]\displaystyle{ \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ... }[/math]. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty c_k^2 \leqslant \|f\|^2. }[/math]

Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через [math]\displaystyle{ S_N(f,x) }[/math] частичные суммы ряда Фурье функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx} }[/math].

Далее обсуждается сходимость последовательности функций [math]\displaystyle{ S_N(f,x) }[/math] к функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в различных смыслах. Функция [math]\displaystyle{ f }[/math] предполагается [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]-периодической (если она задана только на промежутке [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math], её можно периодически продолжить).

  • Если [math]\displaystyle{ f\in L_2([-\pi,\pi]) }[/math], то последовательность [math]\displaystyle{ S_N(f,x) }[/math] сходится к функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в смысле [math]\displaystyle{ L_2 }[/math]. Кроме того, [math]\displaystyle{ S_N(f,x) }[/math] являются наилучшим (в смысле расстояния в [math]\displaystyle{ L_2 }[/math]) приближением функции [math]\displaystyle{ f }[/math] тригонометрическим многочленом степени не выше [math]\displaystyle{ N }[/math].
  • Сходимость ряда Фурье в заданной точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] — локальное свойство, то есть, если функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] совпадают в некоторой окрестности [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], то последовательности [math]\displaystyle{ S_N(f,x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ S_N(g,x_0) }[/math] либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
  • Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] дифференцируема в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], то её ряд Фурье в этой точке сходится к [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции [math]\displaystyle{ f }[/math] задаются признаком Дини.
  • Функция, непрерывная в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]. Это следует из того, что для непрерывной в [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] функции [math]\displaystyle{ f }[/math] последовательность [math]\displaystyle{ S_N(f,x_0) }[/math] сходится по Чезаро к [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math].
  • Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] разрывна в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], но имеет пределы в этой точке справа и слева [math]\displaystyle{ f(x_0+0)\neq f(x_0-0), }[/math] то при некоторых дополнительных условиях [math]\displaystyle{ S_N(f,x_0) }[/math] сходятся к [math]\displaystyle{ (f(x_0+0)+f(x_0-0))/2 }[/math]. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
  • Теорема Карлесона: если [math]\displaystyle{ f\in L_2([-\pi,\pi]) }[/math], то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если [math]\displaystyle{ f\in L_p([-\pi,\pi]), p\gt 1 }[/math]. Однако, существуют функции из [math]\displaystyle{ L_1([-\pi,\pi]) }[/math], ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым[11]).
  • Зафиксируем точку [math]\displaystyle{ x_0\in(-\pi,\pi) }[/math]. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве [math]\displaystyle{ C([-\pi,\pi]) }[/math]. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса [math]\displaystyle{ C^{(k)} }[/math], а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

  • Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега[en]).
  • Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] принадлежит классу [math]\displaystyle{ C^{(k)}([-\pi,\pi]) }[/math], то есть дифференцируема [math]\displaystyle{ k }[/math] раз и её [math]\displaystyle{ k }[/math]-я производная непрерывна, то [math]\displaystyle{ \hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right) }[/math]
  • Если ряд [math]\displaystyle{ \sum n^{\alpha}\hat{f}_n }[/math] сходится абсолютно, то [math]\displaystyle{ f }[/math] совпадает почти всюду с функцией класса [math]\displaystyle{ C^{(k)}([-\pi,\pi]) }[/math] при всех [math]\displaystyle{ k\lt \alpha }[/math].
  • Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем [math]\displaystyle{ \alpha\gt 1/2 }[/math], то ряд [math]\displaystyle{ \sum \hat{f}_n }[/math] сходится абсолютно (теорема Бернштейна).
  • Если [math]\displaystyle{ \hat{f}_n=O(a^n),0\lt a\lt 1 }[/math], то тригонометрический ряд Фурье сходится к аналитической функции.[источник не указан 5293 дня]

См. также

Примечания

  1. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 619.
  2. Fetter, Alexander L. Theoretical Mechanics of Particles and Continua / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. — Courier, 2003. — P. 209—210. — ISBN 978-0-486-43261-8. Архивная копия от 18 апреля 2021 на Wayback Machine
  3. Stillwell, John  (англ.). Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century // Routledge History of Philosophy / Ten, C. L.. — Routledge, 2013. — Т. Volume VII: The Nineteenth Century. — С. 204. — ISBN 978-1-134-92880-4. Архивная копия от 16 мая 2020 на Wayback Machine
  4. Florian Cajori. A History of Mathematics. — Macmillan, 1893. — С. 283.
  5. Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav  (англ.). Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (фр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1829. — Vol. 4. — P. 157—169. — arXiv:0806.1294.
  6. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (нем.) ?. Habilitationsschrift, Göttingen; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Дата обращения: 19 мая 2008. Архивировано 20 мая 2008 года.
  7. Mascre, D. & Riemann, Bernhard (1867), Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series, in Grattan-Guinness, Ivor, Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Elsevier, 2005, <https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC> 
  8. Remmert, Reinhold. Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics (англ.). — Springer, 1991. — P. 29. Архивная копия от 16 мая 2020 на Wayback Machine
  9. Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics (англ.). — Elsevier, 1995. — ISBN 0-12-515751-7.
  10. Flugge, Wilhelm. Statik und Dynamik der Schalen (нем.). — Berlin: Springer-Verlag, 1957. Архивная копия от 14 мая 2020 на Wayback Machine
  11. В. М. Тихомиров, В. В. Успенский. Пеpвые филдсовские лауpеаты и советская математика 30-х годов. I. — Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 21-40.

Литература

  • Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
  • Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.
  • Харди Г. Х., Рогозинский В. В.ruen. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.

Ссылки