Признак Лобачевского

Признак Лобачевского — признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math]

сходится или расходится одновременно с рядом

[math]\displaystyle{ \sum_{m=1}^\infty \frac {N_m}{2^m} }[/math]

где [math]\displaystyle{ N_m }[/math] — наименьшее целое, такое что [math]\displaystyle{ a_{N_m}\le\frac1{2^m} }[/math].

Примеры

• Для гармонического ряда [math]\displaystyle{ a_n=\tfrac{1}{n} }[/math] имеем [math]\displaystyle{ N_m=2^m }[/math], таким образом [math]\displaystyle{ \frac {N_m}{2^m}=1 }[/math] и значит второй ряд расходится. Согласно признаку Лобачевского расходится и первый.

Литература

• Лобачевского признак — статья из Математической энциклопедии