Условная сходимость

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n }[/math] называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если [math]\displaystyle{ \lim_{m\to\infty}\sum_{n=0}^ma_n }[/math] существует (и не бесконечен), но [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty |a_n| = \infty }[/math].

Примеры

Простейшие примеры условно сходящихся рядов дают убывающие по абсолютной величине знакочередующиеся ряды. Например, ряд

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1}}n = \ln 2 }[/math]

сходится лишь условно, так как ряд из его абсолютных величин — гармонический ряд — расходится.

Свойства

• Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.
• Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана).
• При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.

Вариации и обобщения

• Понятие условной сходимости естественно обобщается на ряды векторов, бесконечные произведения, а также на несобственные интегралы.

См. также

• Теорема Римана об условно сходящихся рядах
• Абсолютная сходимость
• Безусловная сходимость