Необходимое условие сходимости рядов

Необходимое условие сходимости ряда (Необходимый признак сходимости ряда):

Для сходимости ряда [math]\displaystyle{ \sum a_k }[/math] необходимо, чтобы последовательность [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] была бесконечно малой.

Доказательство

Пусть исходный ряд сходится (последовательность частичных сумм имеет конечный предел). По условию последовательности частичных сумм [math]\displaystyle{ (s_k) }[/math] и [math]\displaystyle{ (s_{k+1}) }[/math] имеют общий конечный предел [math]\displaystyle{ s }[/math], но [math]\displaystyle{ |a_{k+1}| = |\,s_{k+1} - \,s_k| }[/math], а потому [math]\displaystyle{ |a_{k+1}| \rightarrow 0 }[/math], что равносильно бесконечной малости [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math].

Замечание

Данный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что [math]\displaystyle{ (a_k) \rightarrow 0 }[/math] не следует, что ряд сходится.

Так, гармонический ряд [math]\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ... }[/math] расходится, хотя необходимое условие сходимости ряда для него выполняется.

Литература

• Богданов Ю. С. — Лекции по математическому анализу — Часть 2 — Минск: Издательство БГУ — 1978.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.