Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции [math]\displaystyle{ f }[/math] с периодом [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math] в виде ряда

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) }[/math]

(1)

или с использованием комплексной записи, в виде ряда:

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx} }[/math].

Скалярное произведение и ортогональность

Пусть [math]\displaystyle{ \phi_n }[/math], [math]\displaystyle{ \phi_m }[/math] — две функции пространства [math]\displaystyle{ L^2\left[-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2}\right] }[/math]. Определим их скалярное произведение

[math]\displaystyle{ \langle \phi_m(x), \phi_n(x)\rangle:=\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x)\phi_n(x)dx }[/math]

Условие ортогональности

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x)\phi_n(x)dx = \|\phi_m(x)\|^2\delta_{nm} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta_{nm} }[/math] — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при [math]\displaystyle{ n=m }[/math] или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида [math]\displaystyle{ \sin(kx) }[/math], [math]\displaystyle{ \cos(kx) }[/math] попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных [math]\displaystyle{ k\neq l }[/math]:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(lx)dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx)dx = 0 }[/math]

и при всех целых неотрицательных [math]\displaystyle{ k }[/math], [math]\displaystyle{ l }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(lx)dx = 0 }[/math].

Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве [math]\displaystyle{ L^2[0,2\pi] }[/math]. Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида [math]\displaystyle{ \cos(kx), \sin(kx), k\in\mathbb{Z} }[/math], то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Классическое определение

Тригонометрическим рядом Фурье функции [math]\displaystyle{ f\in L_2([-\pi,\pi]) }[/math] называют функциональный ряд вида

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) }[/math]

(1)

где

[math]\displaystyle{ a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx, }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, }[/math]

[math]\displaystyle{ b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx. }[/math]

Числа [math]\displaystyle{ a_0 }[/math], [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ([math]\displaystyle{ n = 1, 2, \ldots }[/math]) называются коэффициентами Фурье функции [math]\displaystyle{ f }[/math]. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию [math]\displaystyle{ f\in L_2([-\pi,\pi]) }[/math] в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты [math]\displaystyle{ a_0 }[/math], [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_n }[/math]. Если умножить правую часть (1) на [math]\displaystyle{ \cos(kx) }[/math] и проинтегрировать по промежутку [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math], благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент [math]\displaystyle{ a_k }[/math]. Аналогично для [math]\displaystyle{ b_k }[/math]

Ряд (1) сходится к функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в пространстве [math]\displaystyle{ L_2([-\pi,\pi]) }[/math]. Иными словами, если обозначить через [math]\displaystyle{ S_k(x) }[/math] частичные суммы ряда (1):

[math]\displaystyle{ S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) }[/math],

то их среднеквадратичное отклонение от функции [math]\displaystyle{ f }[/math] будет стремиться к нулю:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0 }[/math].

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Комплексная запись

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство [math]\displaystyle{ L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) }[/math] комплекснозначных функций со скалярным произведением

[math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx }[/math].

Мы также рассматриваем систему функций

[math]\displaystyle{ \varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z} }[/math].

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция [math]\displaystyle{ f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) }[/math] может быть разложена по ним в ряд Фурье:

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx} }[/math],

где ряд в правой части сходится к [math]\displaystyle{ f }[/math] по норме в [math]\displaystyle{ f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) }[/math]. Здесь

[math]\displaystyle{ \hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx }[/math].

Коэффициенты : [math]\displaystyle{ \hat{f}_k }[/math] связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

[math]\displaystyle{ \hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k\gt 0; }[/math]

[math]\displaystyle{ \hat{f}_0 = a_0/2; }[/math]

[math]\displaystyle{ \hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k\lt 0; }[/math]

[math]\displaystyle{ a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k\gt 0; }[/math]

[math]\displaystyle{ b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k\gt 0. }[/math]

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения [math]\displaystyle{ \hat{f}_k }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat{f}_{-k} }[/math] не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Свойства тригонометрического ряда Фурье

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве [math]\displaystyle{ L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) }[/math].

• Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:

[math]\displaystyle{ \widehat{(\alpha f+\beta g)}_k=\alpha \hat{f}_k+\beta\hat{g}_k }[/math]

• Справедливо равенство Парсеваля:

[math]\displaystyle{ 2\pi \sum_{k=1}^\infty \hat{|f|}_k^2 = ||f||^2 }[/math].

• Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:

[math]\displaystyle{ \widehat{(f')}_k=ik\hat{f}_k }[/math]

• коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются свёрткой коэффициентов Фурье сомножителей:

[math]\displaystyle{ \widehat{(fg)}_k=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\hat{f}_j\hat{g}_{k-j} }[/math]

• рассмотрим операцию свертки функций:

[math]\displaystyle{ (f\ast g)(t):=\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t-x)g(x) dx, }[/math]

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] на всю прямую. Тогда

[math]\displaystyle{ \widehat{(f\ast g)}_k =2\pi\hat{f}_k\hat{g}_k }[/math]

Разложения некоторых функций в ряд Фурье

Функция	Ряд Фурье
	[math]\displaystyle{ \frac{4a}{\pi} \left(\frac{\sin t}{1}+\frac{\sin 3t}{3}+\frac{\sin 5t}{5}+\dots\right) }[/math]
	[math]\displaystyle{ \frac{4a}{\pi} \sum^{\infin}_{n=1} \frac{1}{2n-1} \sin \frac{2\pi (2n-1)t}{T} }[/math]

См. также

• Ряд Фурье
• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье

Литература

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.