Единичная матрица

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Определение

Квадратная матрица [math]\displaystyle{ E_n=(e_{ij}) }[/math] размера (порядка) [math]\displaystyle{ n }[/math], где [math]\displaystyle{ e_{ii}=1 }[/math] для всякого [math]\displaystyle{ i\in\overline{1,n} }[/math], и [math]\displaystyle{ e_{ij}=0 }[/math] для всяких [math]\displaystyle{ i\ne j }[/math], называется единичной матрицей порядка [math]\displaystyle{ n }[/math].

Единичную матрицу можно также определить как матрицу [math]\displaystyle{ (e_{ij}) }[/math], у которой [math]\displaystyle{ e_{ij}=\delta_{ij} }[/math], где [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math] — символ Кронекера.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Обозначение

Единичная матрица размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ E_n }[/math] и имеет вид:

[math]\displaystyle{ E_n=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{bmatrix}, }[/math]

Так же используется и другое обозначение: [math]\displaystyle{ I_n }[/math].

Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: [math]\displaystyle{ E }[/math], [math]\displaystyle{ I }[/math].

Свойства

• Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:

[math]\displaystyle{ A E = E A = A }[/math]

• Квадратная матрица в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера:

[math]\displaystyle{ A^0 = E }[/math]

• При умножении матрицы на обратную ей, тоже получается единичная матрица:

[math]\displaystyle{ A A^{-1} = A^{-1} A = E }[/math]

• Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу:

[math]\displaystyle{ A A^T = E }[/math]

• Определитель единичной матрицы равен единице:

[math]\displaystyle{ \mathrm{det}\,E=1 }[/math].

Примеры

Единичные матрицы первых порядков имеют вид

[math]\displaystyle{ E_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} ,\ E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

Литература

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• См. список литературы по линейной алгебре

См. также

• Нулевая матрица