Признак Бертрана

Признак Бертрана (де Моргана — Бертрана) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1842 году Жозефом Бертраном. В своём выводе Бертран ссылается на труд Огастеса де Моргана «The Differential and Integral Calculus», изданный в 1839 году.

Формулировка

Если существует такое [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math], что, начиная с некоторого номера [math]\displaystyle{ n }[/math], выполняется неравенство [math]\displaystyle{ B_n=\ln n\cdot \left( n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)\geqslant 1+\delta, }[/math] то ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] сходится. Если же [math]\displaystyle{ B_n\leqslant 1 }[/math], начиная с некоторого [math]\displaystyle{ n }[/math], то ряд расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: [math]\displaystyle{ B=\lim_{n \to \infty} B_n }[/math] то при [math]\displaystyle{ B \gt 1 }[/math] ряд сходится, а при [math]\displaystyle{ B \lt 1 }[/math] — расходится.

Замечание. Если [math]\displaystyle{ B = 1 }[/math], то признак Бертрана не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Признак Бертрана чувствительнее признака Раабе и может быть использован для крайне медленно сходящихся рядов.

См. также

• Признак Раабе

Литература

• Бертрана признак — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Bertrand's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• http://vuz.exponenta.ru/PDF/raabe.html