Телескопический признак

Телескопический признак (Признак сгущения Коши) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть для членов [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] ряда выполняется: последовательность [math]\displaystyle{ \{f(n)\} }[/math] монотонно убывает [math]\displaystyle{ f(n)\geqslant 0 \quad \forall n\in\mathbb{N} }[/math] — члены неотрицательны Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] сходится или расходится одновременно с рядом [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) }[/math].

Доказательство

1. По условиям теоремы, последовательность членов [math]\displaystyle{ \{f(n)\} }[/math] является монотонно убывающей, т.е. любой член последовательности должен быть не меньше каждого последующего, а значит сумма [math]\displaystyle{ m }[/math] членов, начиная с [math]\displaystyle{ f(n) }[/math], не превосходит [math]\displaystyle{ m\cdot f(n) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=n}^{n+m-1} f(i) \leq m\cdot f(n) }[/math]

Сгруппируем члены ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }[/math] и, используя это свойство убывающей последовательности, получим:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} f(n) & = f(1)+\underbrace{f(2)+f(3)}_{\leq f(2)+f(2)}+\underbrace{f(4)+f(5)+f(6)+f(7)}_{\leq f(4)+f(4)+f(4)+f(4)}+\cdots +\underbrace{f(2^n)+f(2^n+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)}_{\leq f(2^n)+f(2^n)+\cdots +f(2^n)}+\cdots \\ & \leq f(1) + 2 f(2) + 4 f(4) + \cdots + 2^n f(2^n) + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n). \end{align} }[/math]

То есть, если ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) }[/math] сходится, то согласно признаку сравнения ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }[/math] тем более сходится.

2. Аналогично:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) & = \underbrace{f(1)+f(2)}_{\leq f(1)+f(1)}+\underbrace{f(2)+f(4)+f(4)+f(4)}_{\leq f(2)+f(2)+f(3)+f(3)}+\cdots +\underbrace{f(2^n)+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1})}_{\leq f(2^n)+f(2^n)+f(2^n+1)+f(2^n+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\ & \leq f(1) + f(1) + f(2) +f(2) + f(3) + f(3) + \cdots + f(n) + f(n) + \cdots = 2 \sum_{n=1}^{\infty} f(n). \end{align} }[/math]

То есть если ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) }[/math] расходится, то согласно признаку сравнения ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }[/math] тем более расходится.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty} f(n). }[/math]

■

Обобщения

В 1864 году Жозеф Бертран показал, что вместо ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) }[/math] в данной теореме можно использовать любой ряд вида:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} m^{n}f(m^{n}) }[/math], где [math]\displaystyle{ m\in \N, m\geq 2 }[/math]

В 1902 году Эмиль Борель ещё более расширил данную теорему, использовав вместо ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) }[/math] ряд вида:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a^{n}f([a]^{n}) }[/math], где [math]\displaystyle{ a\in \R, a\gt 1 }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ [a] }[/math] — целая часть числа [math]\displaystyle{ a }[/math].

Признак сгущения Шлёмильха

В 1873 году Оскар Шлёмильх доказал другое обобщение телескопического признака:

Пусть для членов [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] ряда выполняется: последовательность [math]\displaystyle{ \{f(n)\} }[/math] монотонно убывает [math]\displaystyle{ f(n)\geqslant 0 \quad \forall n\in\mathbb{N} }[/math] — члены неотрицательны Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] сходится или расходится одновременно с рядами [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1)\cdot f(n^2) }[/math] и [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2n\cdot f(n^2) }[/math].

Признак сгущения Кноппа

В своей книге 1922 года Конрад Кнопп сформулировал следующее обобщение телескопического признака.

Пусть: [math]\displaystyle{ \{f(n)\} }[/math] — монотонно убывающая последовательность (члены ряда) [math]\displaystyle{ f(n)\geqslant 0 \quad \forall n\in\mathbb{N} }[/math] — последовательность неотрицательна [math]\displaystyle{ \{u_n\} }[/math] — некоторая строго возрастающая последовательность [math]\displaystyle{ u_n\in \mathbb{N} }[/math] (а значит, [math]\displaystyle{ u_n\gt 0 }[/math]) [math]\displaystyle{ \forall n }[/math] последовательность [math]\displaystyle{ \{r_n\}=\left\{\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n-u_{n-1}}\right\} }[/math] ограничена Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] сходится или расходится, одновременно с рядом [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (u_{n+1}-u_n) f(u_n) }[/math].

Данную теорему иногда приписывают Шлёмильху.

Например, если рассматривать последовательность [math]\displaystyle{ u_n= c^n }[/math], которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{N}\setminus\{1\} }[/math], то согласно указанной теореме ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] сходится или расходится одновременно с рядом [math]\displaystyle{ (c-1)\sum_{n=1}^\infty c^n f(c^n) }[/math], а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f(n) }[/math] сходится или расходится одновременно с рядом [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty c^n f(c^n) }[/math] при любой выбранной константе [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{N},\; c\neq 1 }[/math].

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cauchy Condensation Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• D. D. Bonar and M. Khoury, Jr. More Sophisticated Techniques // Real Infinite Series. — Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. — С. 43-45. — 264 с. — ISBN 0-88385-745-6.