Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число [math]\displaystyle{ a }[/math] называется пределом последовательности [math]\displaystyle{ \{ x_n \} }[/math], если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует номер [math]\displaystyle{ N_\varepsilon }[/math], зависящий от [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], такой, что для любого [math]\displaystyle{ n \gt N_\varepsilon }[/math] выполняется неравенство [math]\displaystyle{ \ |x_n - a| \lt \varepsilon }[/math].

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.^[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

История

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение

Число [math]\displaystyle{ a \in \R }[/math] называется пределом числовой последовательности [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math], если последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n - a\} }[/math] является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \Leftrightarrow ~ \forall \varepsilon \gt 0 ~ \exists N (\varepsilon) \in \N \colon ~ n \geqslant N ~ \Rightarrow |x_n - a| \lt \varepsilon }[/math]

(для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон)

Если число [math]\displaystyle{ a\in\R }[/math] является пределом числовой последовательности [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math], то говорят также, что последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] сходится к [math]\displaystyle{ a }[/math]. Если никакое вещественное число не является пределом последовательности [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math], её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E \gt 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| \gt E }[/math]

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E \gt 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n \gt E }[/math]

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E \gt 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n \lt -E }[/math]

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек (что равносильно, наибольший частичный предел).

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения

Тот факт, что последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] сходится к числу [math]\displaystyle{ a }[/math] обозначается одним из следующих способов:

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = a }[/math]

или

[math]\displaystyle{ x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a }[/math]

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.^[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из приводимых ниже (доказуемых по определению) свойств предела.

Свойства

Единственность предела.

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_n=a,\;\lim_{n\to\infty}x_n=b\;\Rightarrow\;a=b }[/math]

Арифметические свойства

взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
- Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
  [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n }[/math]
- Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
  [math]\displaystyle{ \forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n }[/math]
Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n }[/math]
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim \limits_{n \to \infty} x_n}{\lim \limits_{n \to \infty}y_n} }[/math]

Свойства сохранения порядка

Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
[math]\displaystyle{ \exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a }[/math]
Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
[math]\displaystyle{ \exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a }[/math]
Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
[math]\displaystyle{ \exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \lt a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a }[/math]
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
[math]\displaystyle{ \exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \gt a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a }[/math]
Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
[math]\displaystyle{ \exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n }[/math]
Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).
[math]\displaystyle{ \exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n }[/math]

Другие свойства

Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Rightarrow ~ a = b }[/math]

Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.
[math]\displaystyle{ \forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b] }[/math]

Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x = x }[/math]

Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.

Имеет место теорема Штольца.

Если у последовательности [math]\displaystyle{ x_n }[/math] существует предел, то последовательность средних арифметических [math]\displaystyle{ \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} }[/math] имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

Если у последовательности чисел [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] существует предел [math]\displaystyle{ x }[/math], и если задана функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], определённая для каждого [math]\displaystyle{ x_n }[/math] и непрерывная в точке [math]\displaystyle{ x }[/math], то
[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x) }[/math]

Примеры

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e }[/math]

[math]\displaystyle{ \forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a}}}}_{n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x }[/math]

[math]\displaystyle{ \forall n \in \N \colon x_n \gt 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n = +\infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \nexists \lim_{n \to \infty} (-1)^n }[/math]

Случай комплексных чисел

Комплексное число [math]\displaystyle{ a }[/math] называется пределом последовательности [math]\displaystyle{ \{z_n\} }[/math], если для любого положительного числа [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] можно указать такой номер [math]\displaystyle{ N=N(\varepsilon) }[/math], начиная с которого все элементы [math]\displaystyle{ z_n }[/math] этой последовательности удовлетворяют неравенству
[math]\displaystyle{ |z_n - a|\lt \varepsilon }[/math] при [math]\displaystyle{ n \geqslant N(\varepsilon) }[/math]

Последовательность [math]\displaystyle{ \{z_n\} }[/math], имеющая предел [math]\displaystyle{ a }[/math], называется сходящейся к числу [math]\displaystyle{ a }[/math], что записывается в виде [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty}z_n = a }[/math].

Примеры

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве [math]\displaystyle{ x_n }[/math] последовательность [math]\displaystyle{ x_n = (-1)^n }[/math], то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, [math]\displaystyle{ 1, -1 }[/math], то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

См. также

Примечания

↑ Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.
↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68—105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

[1] Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.

[ilyin-2] В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68—105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

[1]

[2]