Признак сходимости

В математике Признак сходимости числового ряда — это метод, позволяющий установить сходимость или расходимость бесконечного ряда:

[math]\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+\ldots +a_n+\ldots\quad }[/math] Краткая запись: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ a_1, a_2,a_3\dots }[/math] — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Необходимое условие сходимости рядов

Если с ростом [math]\displaystyle{ n }[/math] предел члена ряда [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n }[/math] не существует или не равен нулю, то ряд расходится^[1].

Следовательно, условие [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n = 0 }[/math] необходимо (но не достаточно) для сходимости ряда. Другими словами, если это условие не выполнено, то ряд заведомо расходится, однако если оно выполнено, то нет гарантии, что ряд сходится — см., например, гармонический ряд.

Основные признаки сходимости

Ряды с неотрицательными членами

Ряды с неотрицательными членами называют также знакоположительными^[2] или просто положительными^[3].

Критерий сходимости знакоположительных рядов

Знакоположительный ряд [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k }[/math] ограничена сверху^[4].

Признак сравнения с мажорантой

Заключение о сходимости или расходимости ряда можно сделать на основании почленного сравнения его с другим рядом («мажорантой»), поведение которого уже известно^[4].

Пусть даны два знакоположительных ряда: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math]. Если, начиная с некоторого номера ([math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]), выполняется неравенство: [math]\displaystyle{ 0 \leqslant a_n \leqslant b_n }[/math], то^[5]:

из сходимости ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] следует сходимость ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math];
из расходимости ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] следует расходимость и ряда[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math].

Следствие для рядов с членами произвольного знака:

Если ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] абсолютно сходится и начиная с некоторого номера все [math]\displaystyle{ |a_n|\leqslant |b_n| }[/math], то и ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] сходится абсолютно.

Пример^[6]. Докажем сходимость ряда обратных квадратов:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots }[/math]

Для него рядом-мажорантой можно выбрать ряд:

[math]\displaystyle{ 1 + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \cdots }[/math]

Частичную сумму этого ряда можно представить в виде:

[math]\displaystyle{ S_n = 1 + \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \cdots\ + \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) = 2-{1\over n} }[/math]

Поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math].

Признак Раабе

Этот признак сильнее, чем признак Даламбера и радикальный признак Коши^[7].

Если для ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] существует предел:

[math]\displaystyle{ R=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right), }[/math]

то при [math]\displaystyle{ R\gt 1 }[/math] ряд сходится, а при [math]\displaystyle{ R\lt 1 }[/math] — расходится. Если [math]\displaystyle{ R=1 }[/math], то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда^[8].

Интегральный признак Коши — Маклорена

Этот признак позволяет с полной определённостью определить, сходится или расходится ряд.

Пусть функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена при [math]\displaystyle{ x\geqslant 1 }[/math], неотрицательна, монотонно убывает и [math]\displaystyle{ f(n) = a_n }[/math].

Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] и несобственный интеграл:

[math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty f(x) \, dx=\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^t f(x) \, dx }[/math]

сходятся или расходятся одновременно^[9].

Пример^[10]. Выясним сходимость ряда для дзета-функции Римана (в вещественном случае):

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \dots }[/math]

Для него порождающая функция имеет вид: [math]\displaystyle{ 1/x^s }[/math]. Вычислим интеграл:

[math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty \frac{1}{x^s} \, dx=\frac{1}{s-1}, }[/math] если [math]\displaystyle{ s\gt 1 }[/math], или [math]\displaystyle{ \infty, }[/math] если [math]\displaystyle{ s \leqslant 1. }[/math] Вывод: данный ряд сходится при [math]\displaystyle{ s\gt 1 }[/math] и расходится при [math]\displaystyle{ s\leqslant 1 }[/math].

Признак Гаусса

Пусть для знакоположительного ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] отношение [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n+1}} }[/math] может быть представлено в виде:

[math]\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n + 1}} = \lambda+ \frac{\mu}{n} + \frac{\theta_n}{n^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \lambda, \mu }[/math] — постоянные, а последовательность [math]\displaystyle{ \{\theta_n\} }[/math] ограничена. Тогда^[11]:

ряд сходится, если либо [math]\displaystyle{ \lambda \gt 1, }[/math] либо [math]\displaystyle{ \lambda=1, \mu\gt 1; }[/math]
ряд расходится, если либо [math]\displaystyle{ \lambda \lt 1, }[/math] либо [math]\displaystyle{ \lambda=1, \mu\leqslant 1. }[/math]

Признак Куммера

Признак Куммера— чрезвычайно общий и гибкий признак сходимости рядов с положительными членами. Фактически он представляет собой схему для конструирования конкретных признаков^[12].

Пусть даны знакоположительный ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] и последовательность положительных чисел [math]\displaystyle{ \{c_n\} }[/math] такая, что ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{c_n} }[/math] расходится.

Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство:

[math]\displaystyle{ K_n=c_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}\geqslant\delta, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta }[/math].— положительная постоянная, то ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] сходится.

Если же, начиная с некоторого номера, [math]\displaystyle{ K_n\leqslant 0, }[/math] то ряд расходится.

Чаще на практике применяют предельную форму признака Куммера: находим [math]\displaystyle{ K = \lim_{n\to\infty}K_n, }[/math] тогда в случае [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math] ряд сходится, а при [math]\displaystyle{ K\lt 0 }[/math] — расходится.

Из признака Куммера получаются ряд других признаков:

При [math]\displaystyle{ c_n = 1 }[/math] — признак Даламбера;
При [math]\displaystyle{ c_n = n }[/math] — признак Раабе;
При [math]\displaystyle{ c_n = n\,\mathrm{ln}\,n }[/math] — признак Бертрана.

Знакопеременные ряды

Знакопеременными называются ряды, члены которых могут быть как положительны, так и отрицательны.

Признак Даламбера

Этот признак также известен как критерий Даламбера. Он проще, чем признак Коши, однако слабее — если работает признак Даламбера, то всегда работает и признак Коши, однако существуют ряды, к которым признак Коши примени́м, а признак Даламбера не даёт результатов^[13].

Если существует [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r, }[/math] то:

если [math]\displaystyle{ r\lt 1, }[/math] то ряд абсолютно сходится;
если [math]\displaystyle{ r\gt 1, }[/math] то ряд расходится;
если [math]\displaystyle{ r=1 }[/math], то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

Пример^[14]. Исследуем сходимость ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}n!\left(\frac{x}{n}\right)^n, }[/math] где [math]\displaystyle{ x\gt 0. }[/math] Вычислим предел:

[math]\displaystyle{ r =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{n^n x}{(n+1)^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{x}{(1+1/n)^n} = \frac{x}{e} }[/math]

Следовательно, ряд сходится при [math]\displaystyle{ x\lt e }[/math] и расходится при [math]\displaystyle{ x\gt e. }[/math] Случай [math]\displaystyle{ x=e }[/math] следует разобрать отдельно; проверка показывает, что тогда члены ряда не убывают ([math]\displaystyle{ (1+1/n)^n \lt e }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1, }[/math]) так что и в этом случае ряд расходится.

Радикальный признак Коши

Если существует [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = r, }[/math] то:

если [math]\displaystyle{ r\lt 1, }[/math] то ряд сходится, причём абсолютно;
если [math]\displaystyle{ r\gt 1, }[/math] то ряд расходится;
если [math]\displaystyle{ r=1 }[/math], то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда^[15].

Признак Коши сложнее, однако сильнее, чем признак Даламбера: если признак Даламбера подтверждает сходимость или расходимость ряда, то и признак Коши делает то же, однако обратное неверно^[16].

Пример^[17]. Исследуем ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{C}{a_n}\right)^n, }[/math] где [math]\displaystyle{ C\gt 0,\{a_n\} }[/math] — последовательность положительных чисел, причём [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n = A. }[/math]

[math]\displaystyle{ r = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{C}{a_n}\right)^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{C}{a_n} = \frac{C}{A}. }[/math]

Согласно признаку Коши, возможны три случая.

Если [math]\displaystyle{ 0\lt A\lt +\infty, }[/math] то при [math]\displaystyle{ C\lt A }[/math] ряд сходится, при [math]\displaystyle{ C\gt A }[/math] — расходится, при [math]\displaystyle{ C=A }[/math] определённый вывод сделать нельзя.
Если [math]\displaystyle{ A=0, }[/math] то ряд расходится.
Если [math]\displaystyle{ A=+\infty, }[/math] ряд сходится.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов

Этот признак также называют критерий Лейбница.

Пусть для знакочередующегося ряда:

[math]\displaystyle{ S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n }[/math], где [math]\displaystyle{ a_n \geqslant 0 }[/math],

выполняются следующие условия:

последовательность [math]\displaystyle{ \{a_n\}, }[/math] начиная с некоторого номера ([math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]) монотонно убывает: [math]\displaystyle{ a_{n+1} \leqslant a_n }[/math];
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0. }[/math]

Тогда такой ряд сходится^[18].

Признак Абеля

Числовой ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty {a_n}{b_n} }[/math] сходится, если выполнены следующие условия^[19]:

Последовательность [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] монотонна и ограничена.
Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty {b_n} }[/math] сходится.

Признак Дирихле

Пусть выполнены условия:

последовательность частичных сумм [math]\displaystyle{ B_n=\sum_{k=1}^n b_k }[/math] ограничена;
последовательность [math]\displaystyle{ a_n }[/math], начиная с некоторого номера, монотонно убывает: [math]\displaystyle{ a_n \geqslant a_{n+1} }[/math];
[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0 }[/math].

Тогда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n b_n }[/math] сходится.

Описанные выше признаки Лейбница и Абеля вытекают из признака Дирихле и поэтому слабее последнего^[19].

Признак Бертрана

Если для ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] существует предел:

[math]\displaystyle{ B=\lim_{n \to \infty}\ln n\cdot \left( n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right), }[/math]

то при [math]\displaystyle{ B\gt 1 }[/math] ряд сходится, а при [math]\displaystyle{ B\lt 1 }[/math] — расходится. Если [math]\displaystyle{ B=1 }[/math], то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда^[11].

Вариации и обобщения

Хотя большинство признаков имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их нередко можно использовать, чтобы показать сходимость или расходимость бесконечных произведений. Этого можно добиться, используя следующую теорему:

Теорема. Пусть [math]\displaystyle{ \left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty }[/math] — последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение [math]\displaystyle{ \prod_{n=1}^\infty (1 + a_n) }[/math] сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math].

Также аналогично, если [math]\displaystyle{ 0 \lt a_n \lt 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ \prod_{n=1}^\infty (1 - a_n) }[/math] имеет ненулевой предел тогда и только тогда, когда ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] сходится. Это можно доказать, логарифмируя произведение^[20].

Примечания

↑ Фихтенгольц, 1966, с. 293—294.
↑ Матвеева и др..
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 262.
↑ ^{Перейти обратно: 4,0} ^4,1 Фихтенгольц, 1966, с. 264—266.
↑ Воробьёв, 1979, с. 51—52.
↑ Воробьёв, 1979, с. 52.
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 137. — 720 с.
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 273—274.
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 282—285.
↑ Воробьёв, 1979, с. 61.
↑ ^{Перейти обратно: 11,0} ^11,1 Фихтенгольц, 1966, с. 279.
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 277—279.
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 271—272, 275.
↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — С. 274. — 544 с.
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 270—271.
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 272, 275 (примеры 3, 4).
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 274 (пример 1).
↑ Фихтенгольц, 1966, с. 302—303.
↑ ^{Перейти обратно: 19,0} ^19,1 Фихтенгольц, 1966, с. 307—308.
↑ Belk. Convergence of Infinite Products (неопр.) (26 January 2008). Дата обращения: 21 сентября 2020. Архивировано 31 января 2017 года.

Литература

Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.

Ссылки

Матвеева Т. А., Светличная В. Б., Короткова Н. Н. Числовые ряды (неопр.). Дата обращения: 22 сентября 2020.
Признаки сходимости ряда (неопр.). Дата обращения: 22 сентября 2020.

[_9c9ce150406853e7-1] Фихтенгольц, 1966, с. 293—294.

[_d7aa20cc305d2f7b-2] Матвеева и др..

[_7e6d844281fe8810-3] Фихтенгольц, 1966, с. 262.

[_e5eda912b3ae3e42-4] {Перейти обратно: 4,0} ^4,1 Фихтенгольц, 1966, с. 264—266.

[_bc270042e99563c7-5] Воробьёв, 1979, с. 51—52.

[_535d4c6da9321ad3-6] Воробьёв, 1979, с. 52.

[7] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 137. — 720 с.

[_105c1f8361b1a9e3-8] Фихтенгольц, 1966, с. 273—274.

[_16cfaab103056a77-9] Фихтенгольц, 1966, с. 282—285.

[_535d496da93215f9-10] Воробьёв, 1979, с. 61.

[_7e6d854281fe89ec-11] {Перейти обратно: 11,0} ^11,1 Фихтенгольц, 1966, с. 279.

[_6e7a36ca4c2a5a1a-12] Фихтенгольц, 1966, с. 277—279.

[_1bc547cbc2e0d563-13] Фихтенгольц, 1966, с. 271—272, 275.

[14] Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — С. 274. — 544 с.

[_09f0890ce093fe4d-15] Фихтенгольц, 1966, с. 270—271.

[_ae91d1290d4642bb-16] Фихтенгольц, 1966, с. 272, 275 (примеры 3, 4).

[_b14ae2b9e1012bf7-17] Фихтенгольц, 1966, с. 274 (пример 1).

[_f674320e699b240d-18] Фихтенгольц, 1966, с. 302—303.

[_2d5d335dea01cc17-19] {Перейти обратно: 19,0} ^19,1 Фихтенгольц, 1966, с. 307—308.

[20] Belk. Convergence of Infinite Products (неопр.) (26 January 2008). Дата обращения: 21 сентября 2020. Архивировано 31 января 2017 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	[math]\displaystyle{ \sum^\infty_{n=1}a_n }[/math]
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида [math]\displaystyle{ \sum^\infty_{n=1}a_n b_n }[/math]	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича