Интеграл
Интеграл | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
∫ | ||||||||||||
Изображение |
||||||||||||
|
||||||||||||
Характеристики | ||||||||||||
Название | integral | |||||||||||
Юникод | U+222B | |||||||||||
HTML-код |
∫ или ∫ |
|||||||||||
UTF-16 | 0x222B | |||||||||||
URL-код | %E2%88%AB | |||||||||||
Мнемоника |
&∫; |
Интегра́л (от лат. integer — букв. целый)[1] — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:
- о нахождении площади под кривой;
- пройденного пути при неравномерном движении;
- массы неоднородного тела, и тому подобных;
- а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл)[2].
Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие[3].
Интеграл функции одной переменной
Неопределённый интеграл
Пусть дана
В этой записи

Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную.
Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную
Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга посредством параллельного переноса, и их положение зависит от значения
Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:
Определённый интеграл
Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми
Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок
Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали (
Поэтому мы приходим к такому определению:
Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек
Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке
Примеры интегрируемых функций:
- непрерывные функции
- функции, имеющие лишь конечное число разрывов первого рода
- монотонные функции.
Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при
Между определённым и неопределённым интегралом имеется простая связь. А именно, если
то
Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
Интеграл в пространствах большей размерности
Двойные и кратные интегралы
Понятие двойного интеграла возникает при вычислении объёма цилиндрического бруса,
подобно тому, как определённый интеграл связан с вычислением площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим некоторую двумерную фигуру
где
, , или
Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу.
Криволинейный интеграл
Поверхностный интеграл
Применение
К понятию интеграла естественным образом приводит также задача о массе неоднородного тела.
Так, масса тонкого стержня с переменной плотностью
в аналогичном случае плоской фигуры
и для трёхмерного тела
Обобщения
Интеграл Лебега
В основе определения интеграла Лебега лежит понятие
Интеграл Лебега функции
, или ,
последние два обозначения употребляют, если необходимо подчеркнуть, что интегрирование ведётся по переменной
Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо счётного объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс измеримых множеств, получим т. наз. Лебегову меру на прямой (в
Естественно, в этих пространствах можно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве. В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев. Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соответствующих им значений функции.
Пусть есть некоторое множество
измеримы для любого
Сначала интеграл определяется для ступенчатых функций, то есть таких, которые принимают конечное или счётное число значений
где
Если рассматривать функции на
Историческая справка
Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века (первые публикации состоялись в 1675 году). Лейбницу принадлежит обозначение интеграла
Значительное влияние на исследования интегральных исчислений и интегрирования рациональных функций оказало появление метода Остроградского (1844), от которого отталкивались почти все последующие математики.
Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций — Риманом в 1853 году. Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).
См. также
Примечания
- ↑ Словарь иностранных слов. — М.: «Русский язык», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8
- ↑ Интеграл // Казахстан. Национальная энциклопедия . — Алматы: Казахская энциклопедия, 2005. — Т. II. — ISBN 9965-9746-3-2. (CC BY-SA 3.0)
- ↑ Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- ↑ Florian Cajori. A history of mathematical notations. — Courier Dover Publications, 1993. — P. 203. — 818 p. — (Dover books on mathematics). — ISBN 9780486677668.
Литература
- Виноградов И. М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
- «Интеграл как умножение» — перевод статьи A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication | BetterExplained (англ.)