Сходимость по Чезаро

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро^[1]. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Определение

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{A_n^k}{E_n^k} = S }[/math]

где [math]\displaystyle{ A_n, E_n }[/math] определяются как коэффициенты разложения:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n=\frac{\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}}{(1-x)^{1+\alpha}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty E_n^\alpha x^n=(1-x)^{-1-\alpha}, }[/math]

Свойства

При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n s_j = S, }[/math] где [math]\displaystyle{ s_j = a_1 + \cdots + a_j }[/math] — частичные суммы ряда.

Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при [math]\displaystyle{ k \geq 0 }[/math] и не являются регулярными при [math]\displaystyle{ k \lt 0 }[/math]. Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k^' при k^' > k > −1.

При k <-1 это свойство не сохраняется.

Если ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] является (C, k)-сходящимся, то [math]\displaystyle{ a_n = o(n^k) }[/math].

Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гёльдера (H, k) и Риса (R, n, k) (k >0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.

Пример

Пусть a_n = (-1)ⁿ⁺¹ для n ≥ 1. То есть, {a_n} является последовательностью

[math]\displaystyle{ 1, -1, 1, -1, \ldots. }[/math]

Последовательность частичных сумм {s_n} имеет вид:

[math]\displaystyle{ 1, 0, 1, 0, \ldots, }[/math]

и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s₁ + … + s_n)/n} являются

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots, }[/math]

и в общей сложности

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2. }[/math]

Поэтому ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.

См. также

Примечания

↑ Сеsarо E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;

Ссылки

Сходимость по Чезаро (англ.) на сайте PlanetMath.

Литература

Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .

[1] Сеsarо E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;

[1]