Функциональный ряд

Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x) }[/math].

Функциональная последовательность

Запрос «Функциональная последовательность» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве [math]\displaystyle{ \ E }[/math], включённом в d-мерное евклидово пространство [math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^d }[/math].

[math]\displaystyle{ \ {u_k}(x): E \mapsto \mathbb{C},~~ E \subseteq \mathbb{R}^d,~~ k\in \mathbb{N} }[/math]

Поточечная сходимость

Функциональная последовательность [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x) }[/math] сходится поточечно к функции [math]\displaystyle{ \ {u}(x) }[/math], если [math]\displaystyle{ \forall x\in E \;\;\;\exists\lim_{k \rightarrow \infty} \ {u_k}(x)=\ {u}(x) }[/math].

Равномерная сходимость

Существует функция [math]\displaystyle{ \ u(x): E\mapsto\mathbb{C} }[/math] такая, что: [math]\displaystyle{ \ \sup\mid {u_k}(x) - u(x)\mid\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in E }[/math]

Факт равномерной сходимости последовательности [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x) }[/math] к функции [math]\displaystyle{ \ u(x) }[/math] записывается: [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x) }[/math]

Функциональный ряд

[math]\displaystyle{ \ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ {S_n}(x) = \sum_{k=1}^{n} {u_k}(x) }[/math] — n-ная частичная сумма.

Сходимость

В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности, суммы бесконечного ряда, значения у несобственного интеграла, значения у бесконечного произведения.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность [math]\displaystyle{ \ {S_n}(x) }[/math] его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность [math]\displaystyle{ \ {S_n}(x) }[/math] его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости ряда

[math]\displaystyle{ \ {u_k}(x)\rightrightarrows 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ \ k \rightarrow \infty }[/math]

Или, что эквивалентно [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0\,\,\exists n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}:\forall x \in X,\forall n\gt n_0\,\,\, |{u_n}(x)|\lt \varepsilon }[/math], где Х - область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций [math]\displaystyle{ \left\{ f_n \right\}_{n=1}^\infty }[/math], определённых на множестве [math]\displaystyle{ V }[/math], равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math], начиная с некоторого номера [math]\displaystyle{ N=N(\varepsilon) }[/math], при всех [math]\displaystyle{ n, m }[/math], больше либо равных [math]\displaystyle{ N }[/math], одновременно для всех [math]\displaystyle{ x \in V }[/math] значения функций [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ f_m(x) }[/math] различались не более, чем на [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].

[math]\displaystyle{ \forall \varepsilon \gt 0 \; \exists N=N(\varepsilon) \; \forall n, m \geq N \; \forall x \in V \; \left|{f_n}(x) - \ {f_m}(x)\right| \lt \varepsilon }[/math]

Абсолютная и условная сходимость

Ряд [math]\displaystyle{ \ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x) }[/math] называется абсолютно сходящимся, если [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid }[/math] сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x) }[/math] сходится, а [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid }[/math] расходится, то ряд [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x) }[/math] называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд [math]\displaystyle{ \ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x) }[/math] сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд [math]\displaystyle{ \ \sum_{k=1}^{\infty} {v_k}(x) }[/math] сходится равномерно.
2. [math]\displaystyle{ \ \mid{u_k}(x)\mid \lt {v_k}(x),~ \forall x\in E,~ \forall k\in \mathbb{N} }[/math]

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда [math]\displaystyle{ \ {v_k}(x) = a_k }[/math]. Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Признак Дирихле

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)} }[/math] сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций [math]\displaystyle{ \ {a_k}(x) }[/math] монотонна [math]\displaystyle{ \ \forall x\in E }[/math] и [math]\displaystyle{ \ {a_k}(x)\rightrightarrows 0 }[/math]
2. Частичные суммы [math]\displaystyle{ \ {S_n}(x)=\sum_{k=1}^{n} {u_k}(x) }[/math] равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)} }[/math] сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций [math]\displaystyle{ \ {a_k}(x) }[/math] равномерно ограничена и монотонна [math]\displaystyle{ \ \forall x\in E }[/math].
2. Ряд [math]\displaystyle{ \ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x) }[/math] равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве [math]\displaystyle{ \ E }[/math]

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \forall k: }[/math] функция [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x) }[/math] непрерывна в точке [math]\displaystyle{ \ x_0 }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ \ u(x) }[/math] непрерывна в [math]\displaystyle{ \ x_0 }[/math].

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд [math]\displaystyle{ \ \sum_{k=0}^{\infty} {u_k}(x)\rightrightarrows S(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \forall k: }[/math] функция [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x) }[/math] непрерывна в точке [math]\displaystyle{ \ x_0 }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ \ S(x) }[/math] непрерывна в [math]\displaystyle{ \ x_0 }[/math].

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

[math]\displaystyle{ \ \forall k: }[/math] функция [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x) }[/math] непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

[math]\displaystyle{ \ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x) }[/math] на [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

Тогда числовая последовательность [math]\displaystyle{ \left\{ {\int\limits_a^b {{u_k}(x)dx} } \right\} }[/math] сходится к конечному пределу [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b {u(x)dx} }[/math].

Теорема о почленном интегрировании.

[math]\displaystyle{ \ \forall k: }[/math] функция [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x) }[/math] непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x) }[/math] на [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

Тогда числовой ряд [math]\displaystyle{ \ \sum_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a}^{b} {u_k}(x)dx }[/math] сходится и равен [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx }[/math].

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

[math]\displaystyle{ \ \forall k: }[/math] функция [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x) }[/math] дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \exist c\in [a, b]:~u_k(c) }[/math] сходится (к конечному пределу)

[math]\displaystyle{ \ {u'_k}(x)\rightrightarrows \omega(x) }[/math] на отрезке [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ \ \exist u(x):~{u_k}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x) }[/math] — дифференцируема на [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math], [math]\displaystyle{ \ u'(x)=\omega(x) }[/math] на [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

Теорема о почленном дифференцировании.

[math]\displaystyle{ \ \forall k: }[/math] функция [math]\displaystyle{ \ {u_k}(x) }[/math] дифференцируема на отрезке [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \exist c\in [a, b]:~ \sum_{k=1}^{\infty} u_k(c) }[/math] сходится

[math]\displaystyle{ \ \sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x) }[/math] равномерно сходится на отрезке [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ \ \exist S(x):~\sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x) }[/math] — дифференцируема на [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math], [math]\displaystyle{ \ S'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x) }[/math] на [math]\displaystyle{ \ [a, b] }[/math]

Ссылки

• О.В.Бесов. ‹…Š–ˆˆЛекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2004. — 325 с. Глава 16 Функциональные последовательности и ряды