Ряд Меркатора

Сходимость ряда Меркатора к [math]\displaystyle{ \ln(1+x) }[/math] (показанной оранжевым) в окрестности нуля для 4, 7, 11, 16 членов ряда

Ряд Мерка́тора (иногда называемый ряд Ньютона — Меркатора) в математическом анализе — ряд Тейлора для функции натурального логарифма, впервые опубликованный немецким математиком Николасом Меркатором (Кауфманом) в трактате «Logarithmotechnia» (1668 год):

[math]\displaystyle{ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n }[/math]

Лейбниц за это открытие назвал Меркатора «первым изобретателем бесконечных рядов»; до Меркатора европейские математики рассматривали почти исключительно числовые ряды, не содержащие переменных. Независимо от Меркатора этот ряд открыл Исаак Ньютон. В работе «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых» (1671, опубликован посмертно в 1736 году) Ньютон выразил удивление, что до Меркатора никто «не направил своего внимания на приложение к буквам [переменным] принципов недавно открытого учения о десятичных дробях, особенно потому, что при этом открывается путь к более трудным и более важным открытиям».

Ряд Меркатора способствовал подъёму массового интереса к использованию бесконечных рядов и формированию общей теории рядов и функций. К концу XVII века эта тема существенно расширилась и превратилась в математический анализ.

Ряд Меркатора сходится при [math]\displaystyle{ -1\lt x \leqslant 1, }[/math] хотя сходимость довольно медленная. При [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math] ряд сходится абсолютно.

История

Площадь под гиперболой [math]\displaystyle{ y=1/x }[/math] в интервале [math]\displaystyle{ (1,a) }[/math] равна [math]\displaystyle{ \ln(a) }[/math]

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате «Новые арифметические квадратуры» разложение [math]\displaystyle{ \ln 2 }[/math] в бесконечный ряд:

[math]\displaystyle{ \ln 2 = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{5\cdot 6} \dots }[/math]

В 1657 году эту формулу независимо опубликовал английский математик Уильям Браункер в своей статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел».

В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате «Logarithmotechnia» впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функции:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1+x} =1-x+x^2-x^3+\dots }[/math]

Далее он нашёл площади под левой и правой частями этого разложения (в современных терминах, проинтегрировал их) и получил «ряд Меркатора», который выписал для значений [math]\displaystyle{ x=0{,}1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x=0{,}21 }[/math]. Сходимость ряда Меркатор не исследовал, но сразу после выхода в свет труда Меркатора Джон Валлис указал, что ряд пригоден при [math]\displaystyle{ 0\leqslant x\lt 1 }[/math] (отрицательными числами тогда пренебрегали).

Как обнаружили историки науки, Ньютон вывел такой же ряд в 1665 году, но, по своему обыкновению, не позаботился о публикации. Глубокие исследования Ньютона в области бесконечных рядов были опубликованы только в 1711 году, в трактате «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов».

Вариации и обобщения

Ряд Меркатора непригоден для реальных расчётов, так как сходится очень медленно, причём в ограниченном интервале. Но уже в год публикации Меркатора (1668) Джеймс Грегори предложил модифицированный его вариант:

[math]\displaystyle{ \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right) }[/math]

Этот ряд сходится гораздо быстрее, а логарифмируемое выражение уже может представить любое положительное число [math]\displaystyle{ z=\frac{1 + x}{1 - x} }[/math], ибо тогда [math]\displaystyle{ x = \frac{z - 1}{z + 1} }[/math] по абсолютной величине меньше единицы. Например, сумма первых 10 членов ряда Меркатора для [math]\displaystyle{ \ln 2 }[/math] равна [math]\displaystyle{ 0{,}646, }[/math] здесь только первый десятичный знак верен, в то время как ряд Грегори даёт значение [math]\displaystyle{ 0{,}6931471805498, }[/math] в котором верны 10 знаков из 13.

На комплексной плоскости ряд Меркатора приобретает обобщённый вид:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\cdots }[/math]

Это ряд Тейлора для комплексной функции [math]\displaystyle{ f(z)=-\ln(1-z), }[/math] где символ ln обозначает главную ветвь (главное значение) комплексного натурального логарифма. Данный ряд сходится в круге [math]\displaystyle{ |z|\leqslant 1,z\ne 1 }[/math].

Литература

• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.

Ссылки

• Абельсон И. Б. Меркатор находит ключ // Рождение логарифмов. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. — 231 с.
• Weisstein, Eric W. Mercator Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.