Двойной ряд

Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \{a_{i, j}\}_{i=1, j=1}^{\infty} }[/math] — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность частичных сумм ряда

[math]\displaystyle{ \{s_{k, l}\}_{k=1, l=1}^{\infty}, }[/math]

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности

[math]\displaystyle{ \{s_{k, l}\} = \sum_{i=1, j=1}^{i=k, j=l} a_{i, j} }[/math]

Вообще, для обозначения ряда используется символ:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1, j=1}^{\infty}a_{i, j}, }[/math]

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового двойного ряда:

• числовой двойной ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм, то есть ряд [math]\displaystyle{ \{a_{i, j}\} }[/math] сходится и имеет сумму [math]\displaystyle{ s }[/math], если, каково бы ни было [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math], найдутся такие числа [math]\displaystyle{ m_{0} }[/math] и [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math], что при [math]\displaystyle{ m \gt m_{0} }[/math] и [math]\displaystyle{ n \gt n_{0} }[/math] выполняется неравенство [math]\displaystyle{ \| s_{mn}- s \| \lt \varepsilon }[/math]. Также условие сходимости двойного ряда к сумме [math]\displaystyle{ s }[/math] можно записать в виде

[math]\displaystyle{ \lim_{ n,m \to \infty } s_{mn} = s }[/math].

• числовой двойной ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
• числовой двойной ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел [math]\displaystyle{ S }[/math] последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

[math]\displaystyle{ S=\sum_{i=1, j=1}^{\infty}a_{i, j} }[/math]

Свойства

• Пусть в сходящемся двойном ряде [math]\displaystyle{ \{a_{m, n}\}_{m, n=1}^{\infty} }[/math] с суммой [math]\displaystyle{ s }[/math] сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, то есть пусть существуют пределы в равенствах [math]\displaystyle{ s_{i*}=\lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} }[/math] и [math]\displaystyle{ s'=\lim_{m \to \infty}\sum_{i=1}^{m}s_{i*} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ s=s' }[/math]. Аналогично, если существуют пределы [math]\displaystyle{ s_{*j}=\lim_{m \to \infty}\sum_{i=1}^{m}a_{ij} }[/math] и [math]\displaystyle{ s''=\lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{n}s_{*j} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ s=s'' }[/math].
• Теорема Маркова. Пусть в двойном ряде [math]\displaystyle{ \{a_{i, j}\} }[/math] сходятся все строки [math]\displaystyle{ s_{m*}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{mn} }[/math] и все столбцы [math]\displaystyle{ s_{*n}=\sum_{m=1}^{\infty}a_{mn} }[/math]. Обозначим сумму строк [math]\displaystyle{ s'=\sum_{m=1}^{\infty}a_{m*} }[/math].

Тогда:

• • [math]\displaystyle{ k }[/math] - е остатки строк [math]\displaystyle{ r_{m}^{(k)}=\sum_{n=k+1}^{\infty}a_{mn} }[/math] образуют сходящийся ряд [math]\displaystyle{ \sum_{m=1}^{\infty}r_{m}^{(k)} }[/math] с некоторой суммой [math]\displaystyle{ R_{k} }[/math].
  • Для того, чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов [math]\displaystyle{ s''=\sum_{n=1}^{\infty}s_{*n} }[/math] необходимо и достаточно существование предела [math]\displaystyle{ \lim_{k \to \infty}R_{k}=R }[/math].
  • Для равенства [math]\displaystyle{ s'=s'' }[/math] необходимо и достаточно, чтобы было [math]\displaystyle{ R=0 }[/math].

Литература

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.