Признак Дюбуа-Реймона

Признак Дюбуа-Реймона — признак сходимости числовых рядов вида [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n b_n }[/math] (в общем случае [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_n }[/math] — комплексные). Установлен Полем (Паулем) Дюбуа-Реймоном.

Формулировка

Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n b_n\ (a_n,\;b_n\in\Complex) }[/math] сходится, если: ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] — сходится; ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1}) }[/math] — абсолютно сходится.

Для несобственных интегралов

Произведение [math]\displaystyle{ f(x)g(x) }[/math] ([math]\displaystyle{ f,\;g\colon I\to\R }[/math]) интегрируемо на [math]\displaystyle{ I }[/math], если: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] интегрируема на [math]\displaystyle{ [a,\;c]\ \forall c\geqslant a }[/math] и [math]\displaystyle{ F(x)=\int\limits_a^x f(s)\,ds }[/math] ограничен на [math]\displaystyle{ I }[/math]; [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] дифференцируема на [math]\displaystyle{ [a,\;\infty) }[/math] и [math]\displaystyle{ g'(x) }[/math] абсолютно интегрируема на [math]\displaystyle{ I }[/math]; существует предел [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}F(x)g(x) }[/math].

Литература

• И. М. Виноградов. Дюбуа-реймона признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — Т. 2.
• Bartle R. G. A modern theory of integration