Признак Абеля

Признак Абеля сходимости несобственных интегралов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла.

Признак Абеля для несобственного интеграла I-рода (для бесконечного промежутка). Пусть функции [math]\displaystyle{ \ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \ g(x) }[/math] определены на промежутке [math]\displaystyle{ \ [a, \infty) }[/math]. Тогда несобственный интеграл [math]\displaystyle{ \ \int\limits_{a}^{\infty} f(x)g(x)dx }[/math] сходится, если выполнены следующие условия:

1. Функция [math]\displaystyle{ \ f(x) }[/math] интегрируема на [math]\displaystyle{ \ [a, \infty) }[/math].
2. Функция [math]\displaystyle{ \ g(x) }[/math] ограничена и монотонна.

Признак Абеля для несобственного интеграла II-рода (для функций с конечным числом разрывов). Пусть функции [math]\displaystyle{ \ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \ g(x) }[/math] определены на промежутке [math]\displaystyle{ \ (a, b] }[/math]. Тогда несобственный интеграл [math]\displaystyle{ \ \int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx }[/math] сходится если выполнены следующие условия:

1. Функция [math]\displaystyle{ \ f(x) }[/math] интегрируема на [math]\displaystyle{ \ (a, b] }[/math] т.е. сходится интеграл [math]\displaystyle{ \ \int\limits_{a}^{b} f(x) dx }[/math]
2. Функция [math]\displaystyle{ \ g(x) }[/math] ограничена и монотонна на [math]\displaystyle{ \ (a, b] }[/math].

Признак Абеля сходимости числовых рядов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости числового ряда.

Числовой ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty {a_n}{b_n} }[/math] сходится, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность [math]\displaystyle{ \ a_n }[/math] монотонна и ограничена.
2. Числовой ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty {b_n} }[/math] сходится.

Признак Абеля сходимости функциональных рядов

Признак Абеля дает достаточные условия равномерной сходимости функционального ряда. Функциональный ряд

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty {{a_n}(x)}{{u_n}(x)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \ {a_n}(x): E \mapsto \mathbb{R}, {u_n}(x): E \mapsto \mathbb{C}, E \subseteq \mathbb{R}^d }[/math], сходится равномерно на множестве [math]\displaystyle{ \ E }[/math], если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций [math]\displaystyle{ \ {a_n}(x) }[/math] равномерно ограничена на [math]\displaystyle{ \ E }[/math] и монотонна для любых [math]\displaystyle{ \ x }[/math] из [math]\displaystyle{ \ E }[/math].
2. Функциональный ряд комплекснозначных функций [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty{{u_n}(x)} }[/math] равномерно сходится на [math]\displaystyle{ \ E }[/math].

См. также

• Признак Д’Аламбера
• Признак Дирихле
• Радикальный Признак Коши
• Интегральный признак Коши

Ссылки

• О.В.Бесов. Лекции по математическому анализу Ч. 1. — М.: МФТИ, 2004. — 327 с. Архивная копия от 23 мая 2006 на Wayback Machine c 253-254, c 277, c 290-291
• Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. — М.: Физматлит, 2005. — 400 с. c 316 — 318