Прямая

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий[1], их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии[2].

Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки. Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках»[3].

Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии, которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов[4].

Свойства прямой в евклидовой геометрии

Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками.

Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:
[math]\displaystyle{ \scriptstyle{y=kx+b,\;\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1} }[/math] или [math]\displaystyle{ \scriptstyle{x\cos\theta+y\sin\theta-p=0} }[/math]

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

[math]\displaystyle{ Ax+By+C=0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ A, B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] — произвольные постоянные, причём постоянные [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] не равны нулю одновременно.

При [math]\displaystyle{ A = 0 }[/math] прямая параллельна оси [math]\displaystyle{ Ox }[/math], при [math]\displaystyle{ B = 0 }[/math] — параллельна оси [math]\displaystyle{ Oy }[/math].

Вектор с координатами [math]\displaystyle{ (A, B) }[/math] называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При [math]\displaystyle{ C=0 }[/math] прямая проходит через начало координат.

Также уравнение можно переписать в виде

[math]\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)=0. }[/math]

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось [math]\displaystyle{ Oy }[/math] в точке [math]\displaystyle{ (0,\;b) }[/math] и образующей угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] с положительным направлением оси [math]\displaystyle{ Ox }[/math]:

[math]\displaystyle{ y=kx+b,\quad k=\mathrm{tg}\,\varphi. }[/math]

Коэффициент [math]\displaystyle{ k }[/math] называется угловым коэффициентом прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси [math]\displaystyle{ Oy. }[/math] (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)

Получение уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой линии, пересекающей ось [math]\displaystyle{ Ox }[/math] в точке [math]\displaystyle{ (a,\;0) }[/math] и ось [math]\displaystyle{ Oy }[/math] в точке [math]\displaystyle{ (0,\;b) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\quad(a\ne 0,\;b\ne 0). }[/math]

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой

[math]\displaystyle{ x\cos\theta+y\sin\theta-p=0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ p }[/math] — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси [math]\displaystyle{ Ox }[/math] и направлением этого перпендикуляра. Если [math]\displaystyle{ p=0 }[/math], то прямая проходит через начало координат, а угол [math]\displaystyle{ \theta=\varphi+\frac{\pi}{2} }[/math] задаёт угол наклона прямой.

Если прямая задана общим уравнением [math]\displaystyle{ Ax+By+C=0, }[/math] то отрезки [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b, }[/math] отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент [math]\displaystyle{ k, }[/math] расстояние прямой от начала координат [math]\displaystyle{ p, }[/math] [math]\displaystyle{ \cos\theta }[/math] и [math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math] выражаются через коэффициенты [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] следующим образом:

[math]\displaystyle{ a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B},\quad k=\mathrm{tg}\,\varphi=-\frac{A}{B},\quad\varphi=\theta-\frac{\pi}{2}, }[/math]
[math]\displaystyle{ p=\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\quad\cos\theta=\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\theta=\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}. }[/math]

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие [math]\displaystyle{ p\gt 0. }[/math] В этом случае [math]\displaystyle{ \cos\theta }[/math] и [math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math] являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если [math]\displaystyle{ C=0, }[/math] то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Если заданы две несовпадающие точки с координатами [math]\displaystyle{ (x_1,\;y_1) }[/math] и [math]\displaystyle{ (x_2,\;y_2) }[/math], то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0 }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} }[/math]

или в общем виде

[math]\displaystyle{ \left(y_1-y_2\right)x+\left(x_2-x_1\right)y+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)=0. }[/math]
Получение векторного параметрического уравнения прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором [math]\displaystyle{ \vec{r}_0, }[/math] конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой [math]\displaystyle{ \vec{u}. }[/math] Параметр [math]\displaystyle{ t }[/math] пробегает все действительные значения.

[math]\displaystyle{ \vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{u}. }[/math]

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x=x_0+a_xt, \\ y=y_0+a_yt, \end{cases} }[/math]

где [math]\displaystyle{ t }[/math] — произвольный параметр, [math]\displaystyle{ a_x,\; a_y }[/math] — координаты [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] направляющего вектора прямой. При этом

[math]\displaystyle{ k=\frac{a_y}{a_x},\quad a=\frac{a_yx_0-a_xy_0}{a_y},\quad b=\frac{a_xy_0-a_yx_0}{a_x}, }[/math]
[math]\displaystyle{ p=\frac{a_xy_0-a_yx_0}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}},\quad\cos\theta=\frac{a_x}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}},\quad\sin\theta=\frac{a_y}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}}. }[/math]

Смысл параметра [math]\displaystyle{ t }[/math] аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_0}{y-y_0}=\frac{a_x}{a_y} \Longleftrightarrow \frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y} }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_x, a_y }[/math] — координаты [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] направляющего вектора прямой, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] координаты точки, принадлежащей прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах [math]\displaystyle{ \rho }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]:

[math]\displaystyle{ \rho(A\cos\varphi+B\sin\varphi)+C=0 }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \rho\cos(\varphi-\theta)=p. }[/math]

Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

[math]\displaystyle{ \xi x+\eta y=1. }[/math]

Числа [math]\displaystyle{ \xi }[/math] и [math]\displaystyle{ \eta }[/math] называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

[math]\displaystyle{ \vec r=\vec{r}_0+t\vec a,\quad t\in(-\infty,\;+\infty), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec{r}_0 }[/math] — радиус-вектор некоторой фиксированной точки [math]\displaystyle{ M_0, }[/math] лежащей на прямой, [math]\displaystyle{ \vec a }[/math] — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

[math]\displaystyle{ x=x_0+t\alpha,\;y=y_0+t\beta,\;z=z_0+t\gamma,\quad t\in(-\infty,\;+\infty), }[/math]

где [math]\displaystyle{ (x_0,\;y_0,\;z_0) }[/math] — координаты некоторой фиксированной точки [math]\displaystyle{ M_0, }[/math] лежащей на прямой; [math]\displaystyle{ (\alpha,\;\beta,\;\gamma) }[/math] — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_0}{\alpha}=\frac{y-y_0}{\beta}=\frac{z-z_0}{\gamma}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ (x_0,\;y_0,\;z_0) }[/math] — координаты некоторой фиксированной точки [math]\displaystyle{ M_0, }[/math] лежащей на прямой; [math]\displaystyle{ (\alpha,\;\beta,\;\gamma) }[/math] — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой[уточнить] в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:
[math]\displaystyle{ (\vec r,\;\vec N_1)+D_1=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ (\vec r,\;\vec N_2)+D_2=0, }[/math]

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}(\vec r,\;\vec N_1)+D_1=0,\\ (\vec r,\;\vec N_2)+D_2=0.\end{cases} }[/math]

Векторное уравнение прямой в пространстве[6]:196-199:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] на фиксированный направляющий вектор прямой [math]\displaystyle{ \vec a }[/math]:
[math]\displaystyle{ [\vec r, \vec a]=\vec M, }[/math]

где фиксированный вектор [math]\displaystyle{ \vec M }[/math], ортогональный вектору [math]\displaystyle{ \vec a }[/math], можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки [math]\displaystyle{ (x_1,\;y_1) }[/math], [math]\displaystyle{ (x_2,\;y_2) }[/math] и [math]\displaystyle{ (x_3,\;y_3) }[/math] лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}=0. }[/math]

Отклонение точки [math]\displaystyle{ (x_1,\;y_1) }[/math] от прямой [math]\displaystyle{ Ax+By+C=0 }[/math] может быть найдено по формуле

[math]\displaystyle{ \delta=\frac{Ax_1+By_1+C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}, }[/math]

где знак перед радикалом противоположен знаку [math]\displaystyle{ C. }[/math] Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки [math]\displaystyle{ (x_1,\;y_1,\;z_1) }[/math] до прямой, заданной параметрическим уравнением

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x=x_0+t\alpha,\\ y=y_0+t\beta,\quad t\in\R\\ z=z_0+t\gamma,\end{cases} }[/math]

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент [math]\displaystyle{ t }[/math] этой точки может быть найден по формуле

[math]\displaystyle{ t_\min=\frac{\alpha(x_1-x_0)+\beta(y_1-y_0)+\gamma(z_1-z_0)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}. }[/math]

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

[math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1=0,\quad A_2x+B_2y+C_2=0 }[/math]

или

[math]\displaystyle{ y=k_1x+b_1,\quad y=k_2x+b_2 }[/math]

пересекаются в точке

[math]\displaystyle{ x=\frac{B_1C_2-B_2C_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{b_1-b_2}{k_2-k_1},\quad y=\frac{C_1A_2-C_2A_1}{A_1B_2-A_2B_1}=\frac{k_2b_1-k_1b_2}{k_2-k_1}. }[/math]

Угол [math]\displaystyle{ \gamma_{12} }[/math] между пересекающимися прямыми определяется формулой

[math]\displaystyle{ \mathrm{tg}\,\gamma_{12}=\frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2+B_1B_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}. }[/math]

При этом под [math]\displaystyle{ \gamma_{12} }[/math] понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами [math]\displaystyle{ A_1 }[/math], [math]\displaystyle{ B_1 }[/math], [math]\displaystyle{ C_1 }[/math], [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ b_1 }[/math]) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если [math]\displaystyle{ A_1B_2-A_2B_1=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ k_1=k_2 }[/math], и перпендикулярны, если [math]\displaystyle{ A_1A_2+B_1B_2=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ k_1=-\frac{1}{k_2} }[/math].

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением [math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1=0, }[/math] можно выразить уравнением [math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C=0. }[/math] При этом расстояние между этими прямыми будет равно

[math]\displaystyle{ \delta=\frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2}}; }[/math]

Если же уравнение прямой задано как [math]\displaystyle{ y_1=kx_1+b_1 }[/math], а уравнение прямой параллельной ей [math]\displaystyle{ y=kx+b }[/math], то расстояние можно вычислить, как

[math]\displaystyle{ \delta=\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}. }[/math]

Если знак перед радикалом противоположен [math]\displaystyle{ C_1, }[/math] то [math]\displaystyle{ \delta }[/math] будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

[math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1=0,\quad A_2x+B_2y+C_2=0,\quad A_3x+B_3y+C_3=0 }[/math]

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix}=0. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ A_2=-B_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ B_2=A_1 }[/math], то прямые [math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ A_2x+B_2y+C_2=0 }[/math] перпендикулярны.

Некоторые специальные типы прямых

Примечания

  1. Coxeter, 1969, p. 4
  2. Математическая энциклопедия, 1984, с. 721—722.
  3. Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида / Университет Дмитрия Пожарского. — М., 2013. — С. 116. — 368 с.
  4. Норден А. П. Краткий курс дифференциальной геометрии. — М.: Физматгиз, 1958. — С. 214—215. — 244 с.
  5. Faber, Appendix B, p. 300.
  6. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Литература

Ссылки