Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.

Построение

Итеративный метод

Построение треугольника Серпинского

Мозаичный пол в стиле косматеско в Кафедральном соборе Св. Марии в Ананьи

Середины сторон равностороннего треугольника [math]\displaystyle{ T_0 }[/math] соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество [math]\displaystyle{ T_1 }[/math], состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество [math]\displaystyle{ T_2 }[/math], состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность [math]\displaystyle{ T_0\supset T_1\supset\dots\supset T_n\supset\dots }[/math], пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника [math]\displaystyle{ T_0 }[/math].

2. Вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (0; 1) }[/math] разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.

3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка [math]\displaystyle{ P_0 }[/math].

4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.

1. Генерируется случайное число [math]\displaystyle{ n \in (0; 1) }[/math].

2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.

3. Строится точка [math]\displaystyle{ P_i }[/math] с новыми координатами: [math]\displaystyle{ x_i = \frac{x_{i-1} + x_A}{2}; y_i = \frac{y_{i-1} + y_A}{2} }[/math], где:

[math]\displaystyle{ x_{i-1}, y_{i-1} }[/math] — координаты предыдущей точки [math]\displaystyle{ P_{i-1} }[/math]; [math]\displaystyle{ x_A, y_A }[/math] — координаты активной точки-аттрактора.

5. Возврат к началу цикла.

Построение на JavaScript

Это нерекурсивный метод построения

Картинка, генерируемая кодом на JavaScript

var k=Math.sqrt(3)/2; var S=16; var H=512; var W=Math.floor(H/k);
document.body.innerHTML=('<canvas id="C" width="'+W+'" height="'+H+'"></canvas>');
var canvas = document.getElementById('C');
var ctx = canvas.getContext('2d');
ctx.fillRect(0, 0, W, H);
for(var x = 0;x<=Math.floor(W/2);x++) {
  for(var y = 0;y<H;y++) {
    var A = y;          var a = A%S;
    var B = y/2+x*k;    var b = B%S;
    var C = y/2-x*k;    var c = C%S;
    if(a>b&&C>0&&B>0) {
      if ((B/S)&(C/S)) ctx.fillStyle='#ff0';
      else ctx.fillStyle='#000';
    } else if(a<b&&C>0&&B>0) {
      ctx.fillStyle='#0f8';
    } else ctx.fillStyle='#fff';
    ctx.fillRect(Math.floor(W/2)-x, y, 1, 1);
    if (x!=0) ctx.fillRect(Math.floor(W/2)+x, y, 1, 1);
  }
}

Построение на C# в консоли с помощью треугольника паскаля

using System;

namespace Serpinski 
{ 
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            Console.Write("Power of 2: ");
            int depth = Convert.ToInt32(Math.Pow(2d, Convert.ToDouble(Console.ReadLine())));

            int[][] pascaltriangle = new int[depth][];
            for (int i = 0; i < pascaltriangle.Length; i++)
            {
                pascaltriangle[i] = new int[depth];
                for (int j = 0; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    pascaltriangle[i][j] = 0;
                pascaltriangle[i][0] = 1;
                pascaltriangle[i][i] = 1;
            }

            for (int i = 1; i < pascaltriangle.Length; i++)
                for (int j = 1; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    pascaltriangle[i][j] = (pascaltriangle[i - 1][j - 1] + pascaltriangle[i - 1][j]) % 2;

            for (int i = 0; i < pascaltriangle.Length; i++)
            {
                for (int j = 0; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    Console.Write(pascaltriangle[i][j] == 1 ? "#" : " ");
                Console.WriteLine();
            }
            
            Console.Write("Press any key to continue...");
            Console.ReadKey();
        }
    }
}

Свойства

• Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
• Треугольник Серпинского замкнут.
• Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
• Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность [math]\displaystyle{ =\ln3/\ln2\approx 1{,}585 }[/math]. В частности,
  • треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.

Факты

Римская мозаика 3 — 4 столетия в античном музее города Арль, Франция

• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
• Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают при эволюции многих конечных автоматов, подобных игре Жизнь.
• Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).
• Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет
• На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны.
• Четыре первых итерации фрактальных треугольников Серпинского использовались в орнаментах геометрической мозаики стиля косматеско в средневековых соборах Италии (начиная с XII века), арабских и персидских интерьерах.

• Треугольник Серпинского
• 

  Построение итеративным методом

• 

  Построение методом хаоса

• 

  Иллюстрация свойства самоподобия (рекурсии)

См. также

• Ковёр Серпинского

Литература

• Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. - 1856.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.

Ссылки

• * Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.