Конхоида Слюза

Конхоида Слюза для некоторых значений a

Конхоиды Слюза — это семейство плоских кривых, которые изучал в 1662 году Рене́-Франсу́а Валте́р, барон де Слюз.

Кривые задаются в полярных координатах уравнением

[math]\displaystyle{ r=\sec\theta+a\cos\theta }[/math].

В декартовой системе кривые удовлетворяют уравнению

[math]\displaystyle{ (x-1)(x^2+y^2)=ax^2 }[/math]

за исключением случая a = 0, в котором кривая имеет изолированную точку (0,0), которой нет в полярном представлении кривой.

Кривые являются рациональными, круговыми, кубическими плоскими кривыми.

Выражения имеют асимптоту x=1 (для a≠0). Точка, наиболее удалённая от асимптоты — (1+a,0). (0,0) является точкой самопересечения для a<−1.

Для [math]\displaystyle{ a \ge -1 }[/math] область между кривой и асимптотой имеет площадь

[math]\displaystyle{ |a|(1+a/4)\pi }[/math]

Для [math]\displaystyle{ a \lt -1 }[/math] площадь равна

[math]\displaystyle{ \left(1-\frac a2\right)\sqrt{-(a+1)}-a\left(2+\frac a2\right)\arcsin\frac1{\sqrt{-a}}. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ a\lt -1 }[/math], кривая имеет петлю. Площадь петли равна

[math]\displaystyle{ \left(2+\frac a2\right)a\arccos\frac1{\sqrt{-a}} + \left(1-\frac a2\right)\sqrt{-(a+1)}. }[/math]

Четыре кривые из семейства имеют собственные имена:

a = 0, прямая (асимптота для остальных кривых семейства)

a = −1, циссоида Диокла

a = −2, правая строфоида

a = −4, трисектриса Маклорена