Ковёр Аполлония
Ковёр Аполлония, или сетка Аполлония — фрактал, строящийся по трём попарно касающимся окружностям. Представляет собой предельное множество всевозможных последовательностей окружностей, каждая из которых касается трёх уже построенных. Назван в честь греческого математика Аполлония Пергского.
Построение
Начнём с трёх окружностей, каждая из которых является касательной к двум другим. Далее добавляем к имеющейся фигуре рекурсивно окружности, каждая из которых касается каких-нибудь трёх уже построенных окружностей. На первом шаге мы добавим две, на втором шесть, и так далее.
Продолжая построение, мы добавляем 2·3n новых окружностей на n-м шаге.
Замыкание построенных окружностей называется сеткой Аполлония.
Свойства
- Сетка Аполлония имеет Хаусдорфову размерность около 1,3057[1].
- Сетку Аполлония можно представить как объединение двух подмножеств, гомеоморфных треугольнику Серпинского, с общими вершинами.
- Подгруппа группы преобразований Мёбиуса, состоящая из таких преобразований, которые переводят сетку Аполлония в себя, действует транзитивно на окружностях сетки.
- Сетку Аполлония можно определить как предельное множество группы преобразований плоскости образованной инверсиями в четырёх попарно касательных окружностях.
Кривизны
Кривизна окружности определяется как обратное к её радиусу.
- Отрицательная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются этой окружность изнутри. Это ограничивающая окружность.
- Нулевая кривизна даёт линию (окружность с бесконечным радиусом).
- Положительная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются этой окружность снаружи. Этот круг находится внутри круга с отрицательной кривизной.
В сетке Аполлония все окружности имеют положительную кривизну, кроме одной, ограничивающей окружности.
Целые сетки Аполлония
Предположим, [math]\displaystyle{ a, b, c, d }[/math] обозначают кривизны четырёх попарно касающихся окружностей. По теореме Декарта
- [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \tfrac12 \cdot (a + b + c + d)^2. }[/math]
Отсюда следует, что если четыре попарно касающиеся окружности имеют целые кривизны, то и все остальные окружности в их сетке Аполлония имеют целые кривизны. Имеется бесконечно много таких целых сеток. [2] Ниже приведены несколько целых сеток с отмеченными кривизнами окружностей.
Вариации и обобщения
Трёхмерный эквивалент сетки Аполлония — Аполлониева упаковка сфер.
Примечания
- ↑ Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension // American Journal of Mathematics. — Vol. 120. — P. 691—721. — doi:10.1353/ajm.1998.0031.
- ↑ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory", J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.
Литература
- А. А. Кириллов. Часть II. Ковер Аполлония // Повесть о двух фракталах. — 2-е изд., исправленное. — М.: Издательство МЦНМО, 2010. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 978-5-94057-670-9.
