Двойственная кривая
Двойственная кривая (или дуальная кривая) к заданной кривой на проективной плоскости — это кривая на двойственной проективной плоскости, состоящая из касательных к заданной гладкой кривой. В этом случае кривые называются взаимно двойственными (дуальными). Понятие может быть обобщено для негладких кривых и на многомерное пространство.
Двойственные кривые являются геометрическим выражением преобразования Лежандра в гамильтоновой механике.
Двойственная проективная плоскость
Точки и прямые на проективной плоскости играют симметричные роли по отношению друг к другу: для любой проективной плоскости [math]\displaystyle{ P }[/math] можно рассмотреть двойственную проективную плоскость [math]\displaystyle{ P^* }[/math], в которой точками по определению являются прямые исходной плоскости [math]\displaystyle{ P }[/math]. В этом случае прямым плоскости [math]\displaystyle{ P^* }[/math] будут соответствовать точки [math]\displaystyle{ P }[/math], а отношение инцидентности будет то же самое с точностью до перестановки аргументов.
Определение
Пусть дана гладкая кривая [math]\displaystyle{ C }[/math] на проективной плоскости [math]\displaystyle{ P }[/math] . Рассмотрим множество всех её касательных [math]\displaystyle{ C^* }[/math]. Это множество можно рассмотреть как множество точек двойственной плоскости [math]\displaystyle{ P^* }[/math]. Оно будет образовывать кривую (не обязательно гладкую) в [math]\displaystyle{ P^* }[/math], которая называется двойственной кривой к [math]\displaystyle{ C }[/math][1].
Из-за симметрии между пространством и двойственным пространством, кривой, двойственной к кривой в [math]\displaystyle{ P^* }[/math] (то есть к однопараметрическому семейству прямых в [math]\displaystyle{ P }[/math]), будет кривая в [math]\displaystyle{ P }[/math]. Эта кривая называется огибающей семейства прямых[2].
Пример
Рассмотрим эллипс, заданный уравнением [math]\displaystyle{ (x/2)^2+(y/3)^2=1 }[/math] (см. рисунок). Касательными к нему будут прямые, заданные уравнениями [math]\displaystyle{ \alpha x + \beta y =1 }[/math], где [math]\displaystyle{ (2\alpha)^2 + (3\beta)^2=1 }[/math]. Таким образом, двойственная к этому эллипсу кривая задаётся уравнением [math]\displaystyle{ (2\alpha)^2 + (3\beta)^2=1 }[/math] в координатах [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], [math]\displaystyle{ \beta }[/math].
Свойства
Двойственные кривые обладают следующими свойствами[1][3]:
- Кривая, двойственная к двойственной кривой, будет исходной кривой: [math]\displaystyle{ (C^*)^*=C }[/math].
- Если исходная кривая — кривая второго порядка, то двойственная ей кривая тоже будет второго порядка.
- Каждой двойной касательной (то есть касательной к двум точкам) исходной кривой соответствует точка самопересечения двойственной кривой.
- Каждой точке перегиба исходной кривой соответствует точка возврата двойственной кривой.
Связь с преобразованиями Лежандра
Двойственные кривые применяются для описания преобразований Лежандра в гамильтоновой механике. А именно, преобразование Лежандра — это переход от кривой к двойственной кривой, записанный в аффинных координатах. Это связано со следующим свойством: график строго выпуклой функции двойственен графику преобразования Лежандра для этой функции[1].
Параметризация
Для параметрически заданной кривой двойственная кривая определяется уравнениями[4]:
- [math]\displaystyle{ X=\frac{y'}{yx'-xy'} }[/math]
- [math]\displaystyle{ Y=\frac{x'}{xy'-yx'} }[/math]
Обобщения
Негладкие кривые
Понятие двойственности можно обобщить для ломаных и вообще для негладких кривых, если вместо касательных рассматривать опорные прямые. Прямая на плоскости называется опорной к кривой, если она содержит точку кривой, но при этом вся кривая лежит в одной полуплоскости от этой прямой. Для гладких кривых единственной опорной прямой, проходящей через данную точку кривой, является касательная к этой кривой. Таким образом, можно обобщить понятия двойственности для негладких кривых: двойственной кривой к произвольной кривой называется множество её опорных прямых.
Множество опорных прямых для ломаной также образует ломаную: опорные прямые, проходящие через вершины исходной ломаной, образуют отрезок двойственной плоскости. Эта ломаная называется двойственной ломаной. Её вершины получаются из отрезков исходной ломаной[1]. В частности, двойственным к многоугольнику будет многоугольник, который называется двойственным многоугольником[англ.].
Двойственная гиперповерхность
Понятие двойственности можно обобщить и на проективное пространство произвольной размерности. Двойственным проективным пространством называется пространство, состоящее из гиперплоскостей исходного пространства.
Для заданной выпуклой гиперповерхности в проективном пространстве множество гиперплоскостей, опорных к этой гиперповерхности, называется двойственной гиперповерхностью[1].
Примеры
Пусть дана окружность, заданная в некоторой системе координат уравнением [math]\displaystyle{ x^2+y^2=1 }[/math]. Касательной к окружности в точке [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], где [math]\displaystyle{ a^2+b^2=1 }[/math], является прямая [math]\displaystyle{ ax+by=1 }[/math]. Координатами этой прямой в двойственной системе координат будет пара [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]. Таким образом, двойственной кривой к окружности будет множество точек двойственной кривой с координатами [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], где [math]\displaystyle{ a^2+b^2=1 }[/math], то есть опять окружность.
В более общем случае, если в пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] задана норма, то в сопряжённом пространстве [math]\displaystyle{ {\mathbb{R}^n}^* }[/math] можно рассмотреть сопряжённую норму[англ.]. Каждой точке [math]\displaystyle{ p }[/math] пространства [math]\displaystyle{ {\mathbb{R}^n}^* }[/math] соответствует гиперплоскость, заданная уравнением [math]\displaystyle{ p x =1 }[/math]. Оказывается, что поверхность, сопряжённая единичной сфере в пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] (в смысле заданной нормы), является двойственной к единичной сфере в двойственном пространстве в смысле сопряжённой нормы[1].
Так, например, куб — это «сфера» в смысле равномерной нормы ([math]\displaystyle{ L^\infty }[/math]). Норма, сопряжённая [math]\displaystyle{ L^\infty }[/math], является [math]\displaystyle{ L^1 }[/math]-нормой. Следовательно, поверхностью, двойственной к кубу, будет «сфера» в [math]\displaystyle{ L^1 }[/math], то есть октаэдр.
Более того, двойственной поверхностью к многограннику будет двойственный многогранник.
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Владимир Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Litres, 2015-02-21. — С. 32-33. — 379 с. — ISBN 9785457718326.
- ↑ Сергей Львовский. Семейства прямых и гауссовы отображения. — Litres, 2015-06-27. — С. 5. — 39 с. — ISBN 9785457742048.
- ↑ Владимир Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Litres, 2015-02-21. — С. 120. — 342 с. — ISBN 9785457717886.
- ↑ Evgueni A. Tevelev. Projective Duality and Homogeneous Spaces. — Springer Science & Business Media, 2004-11-17. — С. 2. — 272 с. — ISBN 9783540228981.
