Прямая Александрова
Прямая Александрова (или длинная прямая) — топологическое пространство, один из основных контрпримеров, используемых в топологии[1]: обычная вещественная прямая состоит из счётного числа отрезков [math]\displaystyle{ [0,1) }[/math], расположенных друг за другом, а прямая Александрова строится из несчётного числа таких отрезков. Построена Павлом Александровым в 1924 году[2].
Замкнутая прямая Александрова [math]\displaystyle{ L }[/math] определяется как декартово произведение первого несчётного ординала [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math] и полуинтервала [math]\displaystyle{ [0,1) }[/math], снабжённое топологией порядка (то есть её база — интервалы [math]\displaystyle{ \{x \mid a \lt x \lt b\} }[/math]), индуцированной лексикографическим порядком на [math]\displaystyle{ \omega_1 \times [0,1) }[/math]. Открытая прямая получается удалением наименьшего элемента [math]\displaystyle{ (0, 0) }[/math].
Прямая Александрова равномощна вещественной прямой и является нормальным пространством, как и любое пространство с топологией порядка, однако обладает рядом необычных свойств. В частности, её топология неметризуема, она секвенциально компактна, но не компактна, линейно связна, локально связна и односвязна, но не стягиваема. Более того, прямая Александрова имеет структуру несепарабельного топологического многообразия[3], несмотря на непаракомпактность, и удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не второй. На ней также можно ввести структуру дифференцируемого[4] и даже аналитического[5] многообразия.
Примечания
- ↑ Steen, Lynn Arthur. Counterexamples in Topology / Lynn Arthur Steen, J. Arthur Jr. Seebach. — Dover reprint of 1978. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1995. — P. 71–72. — ISBN 978-0-486-68735-3.
- ↑ P. Alexandroff. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume // Math. Ann. — 1924. — Т. 92. — С. 295—301. — doi:10.1007/BF01448011.
- ↑ Некоторые авторы требуют свойства сепарабельности и счётности базы в определении топологического многообразия, см. Shastri, Anant R. (2011), Elements of Differential Topology, CRC Press, с. 122, ISBN 9781439831632, <https://books.google.com/books?id=-BrOBQAAQBAJ&pg=PA122>.
- ↑ (1992) «Various smoothings of the long line and their tangent bundles». Advances in Mathematics 93: 129—213. doi:10.1016/0001-8708(92)90027-I.
- ↑ (1960) «Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden». Archiv der Mathematik 11: 104—106. doi:10.1007/BF01236917.