Брахистохрона

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος «кратчайший» + χρόνος «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне 1696 года Иоганном Бернулли следующим образом:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], лежащих в одной вертикальной плоскости ([math]\displaystyle{ B }[/math] ниже [math]\displaystyle{ A }[/math]), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси [math]\displaystyle{ OY }[/math], материальная точка из [math]\displaystyle{ A }[/math] достигнет [math]\displaystyle{ B }[/math] за кратчайшее время.

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке [math]\displaystyle{ A }[/math], или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке [math]\displaystyle{ A }[/math].

Примечательно, что время спуска до нижней точки не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне

Движение тел по различным траекториям. Красная линия — брахистохрона

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Якоб Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдём такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

[math]\displaystyle{ \frac{m v^2}{2} = mgy, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ m }[/math] — масса тела,

[math]\displaystyle{ g }[/math] — ускорение свободного падения,

[math]\displaystyle{ y }[/math] — ордината,

[math]\displaystyle{ v }[/math] — скорость движения тела.

Получаем:

[math]\displaystyle{ v = \sqrt{2gy}, }[/math]

откуда можно найти значение проекции скорости на ось [math]\displaystyle{ x }[/math]:

[math]\displaystyle{ v_x = \frac{v}{\sqrt{1 + (y')^2}} = \frac{\sqrt{2gy}}{\sqrt{1 + (y')^2}}. }[/math]

Поскольку время на спуск равняется [math]\displaystyle{ \int_a^b \frac{1}{v_x} \,dx }[/math], то задача сводится к минимизации значения интеграла

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2g}} \int_a^b \sqrt{\frac{1 + (y')^2}{y}} \,dx. }[/math]

Литература

Клейбер И. А. Брахистохрона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки