Плоскость

Запрос «Плоскостность» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически.

Некоторые характеристические свойства плоскости

• Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
• Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
• Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Плоскость и два её нормальных вектора: n₁ и n₂

Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

[math]\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0\qquad (1) }[/math]

где [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math] — постоянные, причём [math]\displaystyle{ A,B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] одновременно не равны нулю; в векторной форме:

[math]\displaystyle{ (\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0 }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] — радиус-вектор точки [math]\displaystyle{ M(x,y,z) }[/math], вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{N}=(A,B,C) }[/math] перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{N} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. }[/math]

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При [math]\displaystyle{ D=0 }[/math] плоскость проходит через начало координат, при [math]\displaystyle{ A=0 }[/math] (или [math]\displaystyle{ B=0 }[/math], [math]\displaystyle{ C=0 }[/math]) плоскость параллельна оси [math]\displaystyle{ Ox }[/math] (соответственно [math]\displaystyle{ Oy }[/math] или [math]\displaystyle{ Oz }[/math]). При [math]\displaystyle{ A=B=0 }[/math] ([math]\displaystyle{ A=C=0 }[/math], или [math]\displaystyle{ B=C=0 }[/math]) плоскость параллельна плоскости [math]\displaystyle{ Oxy }[/math] (соответственно [math]\displaystyle{ Oxz }[/math] или [math]\displaystyle{ Oyz }[/math]).

• Уравнение плоскости в отрезках:

[math]\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a=-D/A }[/math], [math]\displaystyle{ b=-D/B }[/math], [math]\displaystyle{ c=-D/C }[/math] — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях [math]\displaystyle{ Ox, Oy }[/math] и [math]\displaystyle{ Oz }[/math].

• Уравнение плоскости, проходящей через точку [math]\displaystyle{ M(x_0,y_0,z_0) }[/math] ,перпендикулярной вектору нормали [math]\displaystyle{ \mathbf{N}(A,B,C) }[/math]:

[math]\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0; }[/math]

в векторной форме:

[math]\displaystyle{ ((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0. }[/math]

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки [math]\displaystyle{ M(x_i,y_i,z_i) }[/math], не лежащие на одной прямой:

[math]\displaystyle{ ((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0 }[/math]

(смешанное произведение векторов), иначе

[math]\displaystyle{ \left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0. }[/math]

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

[math]\displaystyle{ x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2) }[/math]

в векторной форме:

[math]\displaystyle{ (\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{N^0} }[/math]- единичный вектор, [math]\displaystyle{ p }[/math] — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

[math]\displaystyle{ \mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} }[/math]

(знаки [math]\displaystyle{ \mu }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math] противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, [math]\displaystyle{ r_0 }[/math] является радиусом-вектором точки [math]\displaystyle{ P_0 }[/math], заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка [math]\displaystyle{ P }[/math] с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от [math]\displaystyle{ P_0 }[/math] к [math]\displaystyle{ P }[/math], перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

[math]\displaystyle{ \mathbf n\cdot (\mathbf r-\mathbf r_0)=0. }[/math] (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

[math]\displaystyle{ n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0, }[/math]

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости [math]\displaystyle{ P(2,6,-3) }[/math] и вектор нормали [math]\displaystyle{ N(9,5,2) }[/math].

Уравнение плоскости записывается так:

[math]\displaystyle{ 9(x - 2) + 5(y - 6) + 2(z + 3) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ -18 + 9x -30 + 5y + 6 + 2z = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 9x + 5y + 2z - 42 = 0 }[/math]

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки [math]\displaystyle{ M_1(x_1,y_1,z_1) }[/math] от плоскости заданной нормированным уравнением [math]\displaystyle{ (2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p; }[/math]

[math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math],если [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае [math]\displaystyle{ \delta\lt 0 }[/math]. Расстояние от точки до плоскости равно [math]\displaystyle{ |\delta|. }[/math]

• Расстояние [math]\displaystyle{ \rho }[/math] от точки [math]\displaystyle{ M_0(x_0, y_0, z_0) }[/math], до плоскости, заданной уравнением [math]\displaystyle{ ax+by+cz+d=0 }[/math], вычисляется по формуле:

[math]\displaystyle{ \rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} }[/math]

Расстояние между параллельными плоскостями

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями [math]\displaystyle{ Ax+By+Cz+D_1=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ Ax+By+Cz+D_2=0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} }[/math]

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями [math]\displaystyle{ \bar n (\bar r - \bar{r_1})=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \bar n (\bar r - \bar{r_2})=0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid} }[/math]

Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E₃ проходит через линию пересечения плоскостей E₁ и E₂, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятия

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

[math]\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}}; }[/math]

Если в векторной форме, то

[math]\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}. }[/math]

• Плоскости параллельны, если

[math]\displaystyle{ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} }[/math] или [math]\displaystyle{ [\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0. }[/math] (Векторное произведение)

• Плоскости перпендикулярны, если

[math]\displaystyle{ A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ (\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0 }[/math]. (Скалярное произведение)

• Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид:

[math]\displaystyle{ \alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.

• Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

[math]\displaystyle{ \alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)+\gamma(A_3x+B_3y+C_3z+D_3)=0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], [math]\displaystyle{ \beta }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщения

Плоскости в неевклидовом пространстве

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости.

Многомерные плоскости

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство [math]\displaystyle{ K^n(V,P) }[/math], над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат [math]\displaystyle{ O, \vec{e_1},...,\vec{e_n} }[/math]. m-плоскостью называется множество точек [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению [math]\displaystyle{ \alpha = \{x \mid x = A_{nm}\vec{t_m} + \vec{d}\}. }[/math] [math]\displaystyle{ A_{nm} }[/math] — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, [math]\displaystyle{ \vec{t} }[/math] — вектор переменных, [math]\displaystyle{ \vec{d} }[/math] — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
[math]\displaystyle{ x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V }[/math] — векторное уравнение m-плоскости.
Вектора [math]\displaystyle{ \vec{a_i} }[/math] образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и [math]\displaystyle{ \exists x \in \alpha : x \notin \beta }[/math].

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math] — нормальный вектор плоскости, [math]\displaystyle{ \vec{r} = (x^1,...,x^n) }[/math] — вектор переменных, [math]\displaystyle{ \vec{r_0} }[/math] — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
[math]\displaystyle{ (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 }[/math] — общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: [math]\displaystyle{ \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0 }[/math], или:
[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 }[/math].
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: [math]\displaystyle{ \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\} }[/math]. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. также

• Сагиттальная плоскость
• Полуплоскость
• Пространство

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
• Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 318—319.