Подера

Подера (фр. podaire, от греч. πόυς, род. пад. ποδος — нога) кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] относительно точки [math]\displaystyle{ P }[/math] — множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки [math]\displaystyle{ P }[/math] на касательные к кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math].

Примеры

Лемниската Бута — подера эллипса.
Здесь a=2 b=1, уравнение 4x²+y²=(x²+y²)²

Улитка Паскаля — подера окружности.
Подера параболы
- относительно её фокуса — прямая,
- относительно вершины — циссоида.
Подера эллипса
- относительно его фокуса — окружность,
- относительно центра эллипса — лемниската Бута.

Уравнения

Для параметрически заданной кривой [math]\displaystyle{ (x(t),\;y(t)) }[/math] подера [math]\displaystyle{ (X(t),\;Y(t)) }[/math] относительно точки [math]\displaystyle{ (0,\;0) }[/math] задаётся уравнениями

[math]\displaystyle{ X=\frac{(xy'-yx')y'}{x'^2 + y'^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ Y=\frac{(yx'-xy')x'}{x'^2 + y'^2} }[/math]

В общем случае, относительно точки [math]\displaystyle{ (x_0,\;y_0) }[/math], уравнения будут такими:

[math]\displaystyle{ X=\frac{x_0 x'^2 + x y'^2 + (y_0-y) x' y'}{x'^2 + y'^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ Y=\frac{y_0 y'^2 + y x'^2 + (x_0-x) x' y'}{x'^2 + y'^2} }[/math]

Связанные определения

Антиподерой кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] относительно точки [math]\displaystyle{ P }[/math] называется кривая, подера которой относительно точки [math]\displaystyle{ P }[/math] есть [math]\displaystyle{ \gamma }[/math].
- Например, парабола есть антиподера прямой.
Подера поверхности относительно точки [math]\displaystyle{ P }[/math] — множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки [math]\displaystyle{ P }[/math] на касательные плоскости поверхности.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Pedal Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.